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che le separa entrambe armonicamente „ [Quest'è già detto in PI § 5, come fu 

 rilevato altrove.] 



PB-D/". " Essendo r, r' due rette prj, una trasformazione univoca t di r in r' allora 

 " dicesi armonica, quando 1°) t è una trasformaz.^ reciproca di r in r , e 

 " 2°) comunque sian presi i punti a, &, e sulla r, purché a e i non coincidano, 

 " all'armonico dopo a,h,c corrisponde sempre in r' l'armonico dopo la, 

 " t6, tc: cosicché si confondono i punti " t Ann (a, 6, e) „ e " Arm (xa, t?>, tc) „. , 

 Insomma: " Trasforra.*' armonica di /• in 7-' „ è sinonimo di trasform.® reci- 

 proca d'r in r', che a quattro punti armonici coordina sempre quattro punti 

 armonici „ (*). 



P6-Tr. " L'inversa d'ogni trasformazione armonica è una trasform.<= armonica. , 



P7-Tr. " Ogni trasformazione armonica è altresì segmentaria. „ [Invero, presi a 

 piacere tre punti distinti a, b, e sulla r, e nel segmento {abc) un punto d non 

 coincidente con b, si può sempre affermar l'esistenza di almeno due punti aj, y, 

 conjugati armonici rispetto ad entrambe le coppie (a, e) e (6, d) {P4). Ora, se 

 fosse rd-^ e{Taxbxc), non potrebbero esister due punti armonici tanto rispetto 

 a Ttt, TC, quanto a ^b, rd (PS). Ma due punti sì fatti esistono al certo; e sono 

 (P5) i trasformati d'x, ij: quindi è forza concluder che ^d e (ra jb tc). Ved. PI §9.] 



PS-Tr. " Siano r, r' due rette proj.", t una trasformaz." armonica di r in r': se esi- 

 " stono in r tre punti distinti, ognun dei quali coincida col suo trasformato 

 " per T, allora ogni altro punto di r coinciderà col suo trasformato. „ — Dunque 

 " Ogni trasformazione armonica, la quale ammetta tre punti uniti distinti è 

 nw' identità ,,. Questo il Tr di Staudt. 



Dm. Siano e, f, g punti di r l'un l'altro distinti e tali che i punti tc, t^, ig coin- 

 cidano rispettiv." con e,f,g. Preso a piacere un punto a sulla r, e detto a' il 

 suo trasformato per t (cioè posto a' = Ta), supponiamo che i punti a' ed a non 

 coincidano: mostreremo che da ciò si deduce l'assurdo. I punti e, f, g, a, a' saranno 

 distinti fra loro, e gli ultimi due non separati dagli altri (P7). Sarà lecito sup- 

 porre a ~ i.{egf), e p. e. a' ~ t{egf) ed {eaf) = [ea'f) {P12 § 6). 



Ciò posto, siano e e e' gli armonici ài a e a' rispetto ad e, f: onde (Po) e ^= -ce. 

 I punti e e e' saranno diversi fra loro e dai precedenti: inoltre (P23 § 5, P3) si 

 avrà che e ^ e.(eaf), e' ^ e{ea'f}, c'e{aa'c): e delle ipotesi a'e(aec), «'e(a/'c) (P13§6) 

 basterà considerarne una sola, p. e. la prima; perchè l'altra si deduce da questa 

 con lo scambio delle lettere e, f tra loro, che non ha effetto di sorta ne sulle 

 ipotesi, né sui risultati. Ora da a' e{aec) e c'e{aa'c) si deduce (P28 § 5) (aec) = (aa'c), 

 c'^iaec); e p. e. (P7 § 5) ce (eac'): e di qui, poi che e, e' ~ e(ea/'), si deduce (P3§6) 

 c'-^(.{eac); quindi (P14 § 5) e' e(ace). Similmente, poiché da a'e{aec) si deduce 

 ae.{eca') (P7, 2 § 5); e d'altra parte a, a'- (.(ecf); ne inferiamo altresì che a'~e(eca); 



(*) In ambe le ])arti 1») e 2") c'è del superfluo: qualche cosa che, date le nostre pre- 

 messe 1-XVIII, e consef^uenza del resto. Ma qui si accoglie la celebre definizione di Staudt senza 



farne oggetto d'analisi. 



