I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 49 



§ 10». 



Corrispondenze armoniche e teorema di Stacdt (*). 



La nozione di " Armonico dopo tre punti dati „ (§ 4) fornisce tosto una classe 

 notevole di trasform.' segmentarie d'una i-etta prj in se stessa. Invero il simbolo 

 " Arm{a, h,x)„ — dove a eh siano punti prj dati a piacere, purché distinti fra loro — 

 è definito per qual si voglia punto x della retta r = ab (P13, 16 § 4), e rappresenta un 

 punto variabile con x su questa retta: quel segno ha dunque il valore di "tras- 

 formazione d' )• in r „, se X denoti un punto corrente di ab (§ 9). 



Vl-Tr. " Essendo a e i punti distinti d'una retta prj >\ V Arm {a, b, r) ^ sarà una 

 " trasformazione segmentarla e reciproca della retta r in se stessa. „ [Reci- 

 proca in forza delle P13, 12, 10, 16 §4; segmentaria in virtù di P13, 6 § 4, P12 § 5, 

 PI, 3 § 9, ecc.] 



PS-Tr. " E se a; è un punto qualsivoglia di r, V " Arm {a, h, Ann (a, b, x)) „ coincide 

 " sempre con x. ,, — Cioè : " La trasformazione Arm {a, b, r) non si distingue dalla 

 sua inversa Arm(a,b,r) „. [Cosi da P12, 10 § 4, ecc. — Due trasformazioni 

 univoche t, a della medesima classe r in r' diconsi eguali fra loro, se le imma- 

 gini TX, ax d'un medesimo individuo x della r sian sempre eguali fra loro in /.] 

 La corrispondenza Ann (a, b, r) onde si parla può costruirsi notoriamente cosi. 

 Preso un punto u fuor della r e un punto a' sulla retta bu, diverso da 6 e da u, 

 si projetti un punto variabile x della /■ sopra la retta aa' dal centro u, e dicasi v 

 l'immagine; poscia il punto v si projetti da b in b' sopra la retta au, e il punto 6' 

 da a' sopra la r in x: sarà x il trasformato di x (e viceversa). — Una 

 proprietà notevole si è che " due punti corrispondenti non possono mai sepa- 

 rarne altri due ,; vale a dire: 



VS-Tr. - Se, nell'HpPl, x e y siano punti distinti fra loro e da ciascuno dei punti 

 "" a e b: e si ponga x'= Arm (a, b, x), y = Ann {a, b, y); allora il punto y' giacerà 

 " nel segmento {xyx'). „ [Invero dall'essere i punti a, b, x, y, x' , y' tutti distinti 

 (PIO, 13 § 4) e ic' ~ € {axb) (P23 § .5) si deduce b ~ e {xax') (P9 § 5) ; onde (P13 § 6) 

 il dilemma: yi.{xax') o y(.{xbx'). Ora,\a. trasform.» segment." Arm{a,b,r) cangia 

 ordinatamente i punti a,b,x,x',y nei punti a, è, a;', x, y' {P16 § 4, PI); dunque 

 da yf.{xax') si deduce y'e{x'ax) (PI § 9), e p. e. y' e{xyx') (P2, 28 § 5): e il mede- 

 simo si trae dalla supposizione ye{xbx').~\ 



IPAi-Tr. " Dati sopra una retta prj r i punti distinti a,b,c e un quarto punto d, 

 " che stia nel segmento {acb) senza cadere in e, si può accertar 1' esistenza 

 " d'un punto x, per cui si avvera la propos.'': " x è un punto di r e 1' 

 " Arm{c, d, Arm{a,b,x)) coincide con a; „. „ 0, in termini comuni: " Se due coppie 

 di punti distinti (a, b) e (e, d) non si separano, esiste almeno una coppia di punti 



(*) Cfr. m,, § 14. 



Sebik II. Tom. XLVIII. 



