48 MARIO PIERI 



(v) Hp . ze{nhc) .z' =iz .-. ue{ahc) . ze {acu) : 0„ . neh : : Q, .-. ij^r- {z'az) -12-12. 



. y - e h . (X) : Oj . 2' - e (acz) 

 (p) Hp.ze {ahc) . z = rz /. ve (aie) . v e (aez) : o„ . t;e k : : 3, .-. (/ e r - [z'az) ~ 12' ~ 1 2 . 



. yeh . (n) : 0„ . 2' - €{acz) 



Infine, moltiplicando rispettiv.^ le Hp di (v). (p) per le propos.' (condizionali in z) 



" z- = z :. ve{fibc) .ve{acz):0vvek „ e " 2^=2' .-. uè (ahc) . 2e(acM):0„.Meh „; 



indi sommando membro a membro : 

 (a) Hp.ze{abc).z' = xz . z -^— z .-. ue{abc) . ze{acu) : o„ . ueh. /. ve{abc) . ve{acz): 



: 0„ . ?;ek :: 0, .-. yer ~ (z'az) -iz - \z . (v) . (p) : 0,, . 2' ~ e (acz) 



Il Tr risulta di qui per eliminazione di y: 

 i?p.((j).Pl.Pl,4,24§5:0. T/i] 



Pi2-Tr. " Premessa ancora l'HpPé, è forza ch'esista entro il segmento prj {a'b'c') un 

 " punto 2 coincidente col suo trasformato t2 , e di piìi tale che ogni punto u di 

 " (abc), per cui 2 appartenga al segmento {acu), sia sempre distinto dal suo 

 " trasformato tk. „ 



[(a) Hp . ze {abc) .z' = tz /. uè {abc) . ze{acu) : o^.ueh. /. ve {abc) . ve{acz) : 0„ . vek.-. 

 .-. PIO, 11 :: 0, .-.2-6(002') .z'-'e{acz): u: z-^ e{acz') .z = z : u-.z' -e{acz) .2 = 

 = 2' : u : 2 = 2' .-. PI . (|;r)P5 § 6 : : 0. : 2 = 2' . PI : : 0. : 2 e {a'b'c') .z = z' 

 La prima delle tre deduzioni successive rispetto a 2 proviene dal moltiplicare 

 insieme le due PIO e Pll, dopo avere in ciascuna di esse trasferito il fattoi'e 

 '^ z- = z' „ dall'Hp nella Th, conforme alla regola : P . $ : 3 . jB .-. Q .-. P . Q : i? . 

 . u . — ^. D'altra parte si ha: 



(p) Rp :.ue{abc).ze{acu):';ìy.. «eh.-. P4:: 0, .". ue{abc) . ze{acu) .u' = tu :^^:u' e 

 € {acu) . PI, 4 § 5 : 0„ . m' - = M 

 Ora, moltiplicando fra loro (a) e (p): 



(t) Hp .ze{abc) .z'=tz. (a) . (P) .-. ue{abc).ze{acu) : Ou-ueh .-. ve{abc) . ve{acz):Q^. 

 . vek : : Oj :: ze{a'b'c) . z = z' .-. ue{abc) . ze{acu) . u' = tu : Q,, .a- — u 

 Bp . (T) . P9 : . Th] 

 Accanto è da mettersi l'altra: 



PlS-Tr. " Siano r una retta prj, t una trasformaz.'' segmentaria di r in se stessa, 

 " a,b,c tre punti distinti su r e a',b',c' e i loro trasformati per t; di più il 

 " segmento {a'b'c') giaccia con ambo gli estremi nel segm." (abc), per modo che 

 " a' cada in {acc'): allora è forza ch'esista nel segmento {a'b'c') un punto 2 

 " coincidente col suo trasformato T2, e tale inoltre che ogni punto u di (abc), 

 " per cui 2 appartenga al segmento {acu), sia sempre distinto dal suo trasfor- 

 " mato TM. „ [Si potrebbe dimostrar similmente a P12 ; ma in ciò che segue non 

 ci bisogna adoperarla.] (*). 



(*) Cfr. Enriques, loc. cit., § 10. Le trasformaz.' reciproclie ivi studiate sotto nome di ' corri- 

 spondenze ordinate , si posson ridurre a trasformazioni segmentarle, ma non alle più generali 

 fra queste. 



