46 MARIO PIERI 



allora nel segmento (a h e) dovrà esistere almeno un punto z sì fatto che 

 1") ogni punto II di {ab e), purché z appartenga al sesfmento (a cu), sia 

 sempre un punto di h\ e 2°) ogni punto v di {ahc), purché appartenente 

 al segmento [acz), sia sempre un punto di k. 



Due punti z di quella sorta non potranno esser distinti; e cioè: 



VS-Tr. " Sotto la stessa HpP7 circa a, h, e, r, h, k, non potranno coesistere nel seg- 

 " mento (ahc) due punti z, z fra loro distinti e tali, che sian soddisfatte per essi 

 " le due condizioni seguenti: 1") dalla propos.'' ue(abc), con l'una o l'altra delle 

 " due propos.' z e (aeu), z' e {aeu), si deduca (in ambi i casi e qualunque sia u) 

 " che weh; 2') dalla vi.{abc), con luna o l'altra delle due ve{acz),ve{acz'), si 

 " deduca (in ambi i casi e qualunque sia v) che vek. „ [Pongasi: 



a) E{z,z')= ) z, z'e{abc) .z'-^ = z[; e 3) Fiz,z')=) ue{abc) :ze{acu) . u . z' e (aeti) .-. 



.-. 3u. weh :: ve{abc) : ve{acz) . u. t5e(ac3').'. 0„ . t^ek j. Allora: 

 T) Hp.E (z,z') . a) . PI, 4 § 5 . (J/.^P?, 5 § 6 /. 0.-,.-, .-. z, z'er ^la.r^ [zaz') {abc) : 



: z'e (acz) . u . ze {acz'); 

 ò) Hp . E{z,z') . a) . t) . (à:b;f)P24 § 5 : 0,,,-. la propos.'= " x^r-{zaz') ~ i^ ~ iz' , non è 



assurda in x\ 

 l) Hp . E{z,z') . F{z,z').z'i{acz) :. Q,,, .-. xir-^{zaz')-\z^\z' . a) . t) • (y;,f)Pll§6: 



: 0^ : xi.{abc) . x€{acz) . z' e {acx) . P4§ 5 . (^©P) : 0, : a;~eia u \c . xf.k n h : Q^ : xir- 



~ia^ì.c .xe(ac3Ìì -.b) .-.';} ,., .esiste un x tale, che " a;e>--ia-ic „ e " xi{acx) ., ; 

 ri) IZp . E) . P4 § 5 : . la propos." " E{z,z') . F{z,z') . z'e{acz) „ è assurda rispetto 



a, z e z'; 

 l) Hp . (v'-ìn) : . la propos."^ " E{z',z) . F{z', z).ze {acz') „ è assurda rispetto a ^ e 2 ; 

 \) flp . r) ■ n) • <^)-a) ■ P) : . la propos.« " E{z,z'). F{z,z') „ è assurda rispetto azez': 

 flp . X) . a) . P) : . Th] 



Fatta questa digressione si osservi, tornando alle P4-6, che le figure h e k 

 definite in P4 verificano appunto le condizioni domandate dall'Hp del Postu- 

 lato XVIIP. Quindi è che (P4-7): 



P9-2V. " Data l'HpP4, esisterà per certo nel segmento {abc) un punto z soddisfacente 

 " alle condizioni seguenti: 1") qualunque sia u, purché ue{abc) e ze{aeu), ne 

 " risulta che «eh; 2*) qualunque sia v, purché ve{abc) eve{acz), ne risulta che i^ek. „ 

 Infine si proverà che un punto z, qual'è quello di cui s'afferma l'esistenza in 

 P9, è necessariamente unito (tautologo) per la trasformazione t data (P4); lad- 

 dove ogni altro punto u di {abc), tale che z appartenga al segmento {acti), non 

 può essere unito. Con ciò verremo in somma alla conseguenza che più c'interessa; 

 per altro giova spezzare il lavoro in più proposizioni. 



VlO-Tr. " Assunta rHpP4 e preso nel segmento {abc) un punto z non coincidente 

 " col suo trasformato tz = z'; se il supporre " m è un punto di {abc) e z un punto 

 " di (aeu) „ involga sempre " weh „, si potrà senz'altro concluder che z non 

 " appartiene al segm." {acz'). „ 

 [(a) Hp . zi{abc) . z' = jz.z^{acz').V\ . PI, 4 §5:0, •■- xirAzaz')-\z-\z'.(:j;':)Vl%&. 

 . {itfWn § 6 : 0, : xe{abc) . xe{acz') .z€{acx) 



