I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE. ECC. 45 



[(a) i?2;.Pl.Pl,4§5:0:a',6',c'€r.&'-^ = a'.c'~ = &'.c'~ = a'.a',c'e(a6c)^ia~ic 

 (P) Hjì.xer- (aca') - i a . a;' = xa; . (a) . P14 § 5 : 0^ : xi(ca'à) . P2, 28 § 5 : 0, : x e (abc) . 



. PI : 0. : xe{a'b'c') . P28§5:Ox: (a'x'c') {abc) . G',t)')P8§6:0,:a;'e(aca')..r,a;'e(a6c) 

 (t) Hp.xer-{aca'}-ia' . (a) . P16§5 : Q, -.xè^catt') . P9 § 5 :Q^ . o' ^{acx) 

 (b) Hp .x€r-^ (aca) ~ la ~ la' . (a), (p) . (t) . (S;f)P4 § 6:0^ . x'e{acx) 

 '(£) Hpib) . X, e (abc) . xe {acxr) . a;'i = xa^i . (?) . (t) . PI, 4 § 5 . Ci;?)P4 § 6 : Ox,x, : a;i er ~ 



~ia~ic.a'e(aca;i).(a). (d;«')P2§6:0x,x,: a;i€r~{aca')-ia~ia'.(?){ò):0^,a;,.a;'ie(acxi) 

 Ora dall' J?p e da (P), (t); (&) segue, in virtù di P4, che r~(aca')~ia~ia'Qh: onde 



esiston per certo dei punti che giacciono in h. 

 (n) Hp . yer -^ (cac'} ^xc^xc' .y' = xy . G:';;av|)(Pj(b) . (a) . P2, 9 § 5 : 0, : y, y e{eba) . 



. y'^icatj) . G';lf)P2 § 6 . PI, 4 § 5 : 0, : y ~ e (cay') . y'^r^xc^xa . Ci:?;l)P9 §5 : 0„ : 



:y'^e(oc//).P4:0,.«/€(a6c)~h. 

 Di qui e dail'Hp, a traverso P4, si deduce che r- (me') - ic~ ic'Qk: dunque 



(P24 § 5) è altresì fuor di dubbio l'esistenza di punti che appartengono a k. C. v. d.] 

 In secondo luogo si proverà che: 



V6-Tr. " Sotto la HpP4, un punto a? di h e un punto y di k, comecché presi ad 

 " arbitrio, soddisfano la relazione: ye.{ncx). „ 

 [ (a) Hp . Xi , Xi e (abc) . x^ e (acx^) . x e [acxi) . P4 § 6 : Ox„x,,fr • x £ (acxi) 

 (P) Hp .xth. ■.••.G^:-:xii(abc) . xf.(acxi) . x' i = txi .P4::0a:, ■.•.x\i.{acx^:.Xii(abc) . 



. xi e {aex^} . x'., = tx.ì. (a) . (*;)P4 : o^^, : x\ e (acx^) . G;'x;)P4 : : Q^, . Xi e h 

 (t) Hp . a;eh .-. q, .-. y^(abc) . x^(acij)Xi)(^) : 0, • «/eh .-. 0, .-. yek. P4 : 0^ ..-r ~ ^(acij) 

 i/p.-.0.-.a;eh.«/ek.(T).P4 : Ox.y:x,y^(abc) . x-=y .x^^(acy) : P5 § 6 .-. . TK] 

 A questo punto si fa innanzi il bisogno d'invocare un nuovo principio, che 

 non deriva dai preced.': quest'è la legge di continuità nel segmento; che 

 qui si propone, a somiglianza d' un noto principio o postulato del Dedekind, 

 nella seguente forma: 



POSTULATO XVIIIo. 



P7. Essendo a, b, e tre punti d'una retta proiettiva /• l'un l'altro distinti; se 

 il segmento projettivo (a b e) sarà diviso in parti 7* e k tali che ciascuna 

 abbia in sé almeno un punto e che, designando per x un punto qualunque 

 di h e per y un punto qualunque di k , y stia sempre nel segmento (a ex): 



al Lettore uno sviluppo alquanto più minuzioso, e una forma più rigida e più osservante del solito. 

 — Se F{x,y,z,...), Q,{x,!/,z,...) sono proposizioni negli enti variabili a;,y,3, ... (ved. § 1), la scrittura 

 ' P(x,i/,z,...) 0,,yQix,i/,e,...) , significa: ' qualunque siano x, y, purché soddisfacenti a P{x,y,z,...), 

 dovranno altresì verificare la Q,{x,ìj,z,...) ,; e può leggersi: da P si deduce, rispetto ad a-,</, Q „. 

 Mancando ogn'indice al segno Oi 'a deduzione s'intende estesa a tutte quante le lettere a;,y, 2,... — 

 I segni d'interpunzione ., :, .'. , ::, ecc. servono, in vece di parentesi, per collegare e distinguere 

 i vari membri del discorso secondo la loro importanza. Il punto ' . „ congiunge due propos.' I due 

 punti " : , legano un gruppo di propos.', già separate da punti, ad un altro; e così via: .sicché lo 

 spezzamento principale è quello contrassegnato da un maggior numero di punti. Ved. Peano, Nat. de 

 Log. Math., § 10. 



