44 MARIO PIERI 



dinare individui fra loro eguali in r' ad individui non eguali fra loro in /• (cioè se 

 individui diseguali in r abbiano sempre immagini diseguali in /•'). Reciproca è detta 

 una trasformazione univoca di r in /, se la sua inversa è similmente una rappre- 

 sentazione univoca di r su r: una sì fatta corrispondenza fi-a le classi /• ed /•' sarà 

 sempre isomorfa in ambi i sensi; ma una trasformazione isomorfa potrà non esser 

 reciproca. — Sere una trasformazione univoca di r in r', il segno " xa „ , dove a sia 

 un individuo qualsivoglia di r, denota il " trasformato di a „, cioè quell'individuo 

 di / che è 1'" immagine di a per mezzo di x „ Ecc. (*). 



In questo § si notano alcune proprietà di certe trasformazioni isomorfe d'una retta 

 prj in un'altra, le quali mutano i segmenti in segmenti a norma della seguente: 



Pl-Df. " Essendo r, r' due rette prj, il nome di " trasformazione segmentarla 

 " d' r in r' „ — che sarà talvolta abbreviato nel segno " lr,r- v — rappresenta 

 " collettivamente l'assieme di tutte le trasformazioni d' r in r', per cui si veri- 

 " ficano le condizioni seguenti: 1) x sia una trasformazione isomorfa di r in r'; 

 " 2) se a, b, e sono punti prj distinti su r, ma del resto arbitrari, e d nn punto 

 " qualunque del segmento (aie), il punto Td giaccia sempre nel segmento prj 

 " {t« ih TC). „ 



PS-Tr. " Se X è una trasformaz." segmentarla d' *■ in / {r, r' essendo rette prj) 

 " ed a, h, e son punti di r l'un l'altro distinti, ogni punto d che, pur giacendo 

 " in r, non appartenga al segm." {ahc), né coincida con a o con e, si trasforma 

 " in un punto -xd non appartenente al segni." (xa x6 xc), né coincidente con uno 

 " dei punti ■xa,-xc. „ [D&W'Hp emerge (P20 § 5) che d e (6ca) n (ca6) : onde (PI) 

 XÉZe(x6xcxa)o(xcxax6), e p. e. la TA(P21§5).] 



VZ-Tr. " Se r,r', r" sono rette prj, x è una T^,,', ff è una T/,/-, sarà xff una Iry. „ 



Ossia " il prodotto di due trasform.' segment.<^ è una trasform." segmentarla „. 



Questo § è una preparazione al teorema di Staudt (§ 10) sulle corrispondenze 



armoniche: quantunque il soggetto non sia per sé medesimo senza interesse. 



Occorre anzi tutto premettere che: 



VA-Df. " Essendo r una retta prj; x una trasform.'^ segment.' d'r in sé stessa; 

 "0,0,0 tre punti distinti su r e a', V, e' i loro trasformati per x; e supposto 

 " inoltre che il segm." (a'h'd) stia con ambo gli estremi nel segm.° [ahc), e il 

 " punto e' nel segm." {aca'): alloi'a con h indicheremo il complesso di tutti i 

 " punti X di (aie) soddisfacenti a queste condizioni: 1°) che l'omologo x' di x 

 " giaccia sempre in (acx); 2°) che se x, e un punto di {aie) tale che x giaccia 

 " in (acxi), sempre il suo trasformato x'i appartenga ad (acxi): di poi rappre- 

 " senteremo con k l'insieme di tutti quegli (abc) che non sono h. „ 

 Dopo ciò si dimostra che: 



P5-Tr. " Nell'anzidetta HpP4, nessuna delle figure h, k è illusoria. „ (*■*). 



(*) Per maggiori e più precise notizie ved. ad es. Peano, Notations de Logique mathématique, 

 §§ 19-27 (Torino, Bocca, 1894); Formul. de Math., 1. 11°, § 1 (Op. cit). 



(**) In argomento, dov'è sì facile errare per trascuranza di particolari anche minimi, non dispiaccia 



