I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 43 



{ab . cp) e {ac'^b). I quali, in virtù di P7, si risolvono appunto in 1) pe [abcd), 

 2) pe{abce), Q)pe{abcf), 4) pe{abcg). Né può darsi che due di questi triangoli 

 abbiano un punto comune: perchè, se cosi fosse ad es. di {abed) e (abce), o di 

 (abce) ed (abcf), ne verrebbe (abcd) = (abce), quindi e e (abcd) nell'un caso (P12,4); 

 ed e e {abcf), quindi b"e(cb"'a), vale a dire b"e{cb'a) nell'altro.] 



Pertanto : " Le rette ah, he, ca spezzano il piano ahc nei triangoli {abcd), (abce), 

 {ahcf), {abcg) ; per modo che, tolte esse rette, il piano è la somma logica dei 

 quattro triangoli : due qualunque de' quali non hanno punti comuni „ . Né sarà 

 superfluo il mostrare che: 



PSS-Tr. " Sotto le stesse HpP24, una retta arbitraria r del piano abc, semprechè 

 " non passi per alcuno dei punti a,h,c, penetra sempre in tre dei quattro 

 " triangoli {abcd), {abce), {abcf), {abcg) ; anzi in tre solamente. „ [Invero, preso 

 un punto p sulla r, il quale non spetti a nessuna delle bc, ca, ab {come sarà 

 lecito sempre, visto ad es. P2.S § 5 ecc.) questo giacerà in un solo de' quattro 

 triangoli (P24), p. e. in {abcd). Allora (PI 5) la r dovrà tagliar due volte il con- 

 torno di (abcd): p. e. nei punti u e v situati rispettiv.*' nei lati (ba'c) e (cb'a). 

 Quindi (PI 7) il punto w, intersezione di r con ab, giacerà fuori del segmento 

 'ac'b), non meno che i punti e" e e'" (ved. la Dm prec.<') : vale a dire starà nei 

 segm." (ac''b) o {ac"'b) (P13 § 6) che non differiscon tra loro. Ma neanche dififeri- 

 scon tra loro (come dianzi s'è visto) i segm.' {ba'c) e {ba"c), o i segm.' {cb'a) e 

 {cb"'a): cosicché la r taglia eziandio doppiamente il contorno di ciascuno dei 

 triangoli {abce), {abcf): ossia (P21) penetra in essi. Infine, poi che nessuno dei 

 punti M, V, tv appartiene al contorno (6 «'"e) u {cb"a) u (ac"6) o la u i& u ic del rima- 

 nente triangolo (dal momento che (ac'b) = (ac"6); laddove (P32 §5) i segm.' (ba'c) 

 e (ba^c), come pure (cb'a) e {cb'''a), non hanno punti comuni) ne consegue che 

 la retta r sia tutta esterna al triangolo {abcg) (P15).] 



§ 9°. 

 Trasformazioni segmentarie (*). 



Come all'Algebra, che insiste per tutto sulle idee di numero e funzione, non 

 altrimenti sono alla Geometria fondamentali i concetti di figura e di trasformazione: 

 però che questi al pari di quelle non facciano che riprodurre aspetti o modificazioni 

 speciali di due categorie logiche fondamentali : la classe e la rappresentazione. — Una 

 rappresentazione t presuppone sempre due classi r,r', di cui l'una, r' ad es., 

 rispecchi l'altra per mezzo di t; così che ciascun individuo di r abbia un'imma- 

 gine in qualche individuo d'/: onde t sarà una trasformazione di r in / „, o 

 una " rappresentazione di r su r „. Una rappresentazione di r sovra / é da 

 chiamarsi univoca, se ad individui eguali fra loro in r coordina sempre individui tutti 

 eguali fra loro in /; isomorfa (o Simile) se, oltre ad esser univoca, non può subor- 



(*) Ved. m„ § 13 



