42 MARIO PIERI 



sicché, posto f = [ab . a"b''), b = {ed . a"b") — e ricordando P19, 12 § 5 ecc. — si 

 deduce che c'€{ab-x), bi{b"a"f); indi, per projezione da a, che (bc . ad) e (ca'b). 

 Per la qual cosa (P9) il punto ò appartiene al triangolo.] 



Così resta provato che " La retta congiungente due punti presi a piacere sopra 

 due lati penetra dentro il triangolo „: e di qui tosto risulta — grazie alle 

 P16, 12 — che " i segmenti in cui la retta è divisa da que' due punti son l'uno 

 esterno e l'altro interno al triangolo „. E più generalmente si può anche con- 

 cluder che " Penetra nel triangolo (abcd) qual si voglia retta del piano abc, che 

 tagli uno dei lati ., : perciò che questa, in virtù di P20, dovrà tagliare eziandio 

 un altro lato, o passar per un vertice: onde si ritorna a P21, o a Po. 



P22-T/-. " Assunta ancora l'HpPl?, e posto che siano e un punto di abc non posto 

 " in alcuna delle bc, ca, ab, ed a", b", e" le sue projezioni {be . ae), {ca . bé), [ab . ce) 

 " su queste rette; allora, se a" e b" saranno punti esterni ai segmenti (ba'c) e 

 " (cb'a), per forza il punto e" giacerà nel segmento (ac'b). ,, [In presenza delle 

 (i)P2, 4§ 4, (d',a','i.','c)P17, ecc., e posto j ^ {ab .a"b"), si avranno le relazioni: 

 a" ^ è\b UIC, 6" ~ eie uia, e" — eia ui&, y ~ e {ac"b) uiawib. Ma T ~ e {ac'b) — 

 grazie ad (a',6,c',y,'a)P19; quindi c',c" ^e{af b) e e" è {ac'b) — come da P6 § 5 e 



(?:o%^;r)pi3§6.] 



Dalla Df di triangolo prj (PI) e dalle P6, 8, 22 si raccoglie altresì che " Se 

 un punto del piano abc non giacente in alcuna delle bc, ca, ab, sia projettato dai 

 punti a, b, e su queste rette, le immagini cadranno tutte tre sul contorno del 

 triangolo {abcd), oppure una sola di esse cadrà sul contorno: e ciò secondo che 

 quel punto è interno, o esterno, al triangolo „ — qualmente verrà significato dalla 

 seguente : 



F2S-Tr. " Data la stessa HpP22; non vi sono altri casi possibili fuor dei seguenti: 

 " 1) a"€(ba'c), b"€{cb'a), c-'i{ac'b); 2) a"e{ba'c), b"-^e{cb'a), c"-^t{ac'b) ; 

 " 3) a"^e{ba'c), b"e{cb'a),c"-^e{ac'b); 4) a"^e{ba'c), b"~e{cb'a), c"€{ac'b). , 



P24-rr. " Dati ancora tre punti non collineari a,b,c; se d, e, f, g 'sìa,no punti del 

 " piano abc, nessuno giacente in una delle bc,ca,ab; inoltre e,f,g non appar- 

 " tengano al triangolo prj {abcd), ma i punti {bc . ae), {ca . bf), {ab . cg) cadano 

 " sopra i segmenti (ba'c), {cb'a), {ac'b) — tenuto fermo il significato precedente di 

 " a', b', e' — ■: allora un punto qualsivoglia del piano abc, che non stia sopra alcuna 

 " delle bc, ca, ab, giacerà sempre in uno dei quattro triangoli {abcd), {abce), {abcf), 

 " (abcg), ne potrà stare in più d'uno. „ [Oltre le notazioni già usate (P22) pon- 

 gasi a"' = (bc . af), b"' = [ca . bf), e'" = {ab . cf).- a'' = {bc . ag), b'" = {ca . bg), 

 &" = {ab . cg): intanto abbiamo (P28 § 5) che {bac) = {ba"c), {cb'a) = {cb"'a), 

 (ac7;)= (ac"6); e inoltre che b", 6'^-e(c&'a), c",c"'^e{ac'b), a'", a"--e(&a'c) (P6-8). 

 Ora, se jo è un punto qualunque della figura a&c~ &c~ca~ a&, dovrà verificarsi 

 per esso il quadrilemma contemplato in P23, leggendovi p, {bc . ap), {ca . bp), 

 {ab . cp) al posto di e, a", b", e". Ma, per quanto si è detto — avuto anche riguardo 

 a P13 § 6 — quei casi possibili saranno equivalenti a questi altri: 1) {bc.ap)€{ba'c), 

 {ca . bp) e (cb'a), {ab . cp) e (ac'b); 2) {bc . ap) e {ba"c), {ca . bp}t{cb"a),{ab . cp)e{ac"b); 

 3) {bc . ap) e {ba"'c), {ca . bp) e {cb"'a), {ab . cp) e {ac"'b) ; 4) {bc . ap) e {ba^'c), {ca . bp) e {cb'^à), 



