1 PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 41 



" non d'alcuna delle bc,ca,ab; e detti a',b',c' i punti d'intersezione [bc.ad), 

 " (ca . hd), {ab . ed) : la retta che unisce due punti a" e b" presi a piacere nei segm.« 

 " (ba'c) e (cb'a) dovrà tagliare la congiungcnte ab per un punto esterno al seg- 

 " mento (ac'b) e diverso dagli estremi a e 6 di questo. „ [Omesse le consuete 

 citazioni ecc., le rette aa" e bb" si taglieranno in un punto e diverso da e e non 

 appartenente ad a6(Pl§4); e le ab, ce in un punto e" di (ac'b) {F 6): sicché 

 {ac'b) = {ac"b). Ma il punto {ab.a'b") coincide con l'Ann{a, b, e") — giusta le 

 Po, 12, 14 §4. Ved. P23§5.] 



La PI 7 esprime che " Una retta, la quale unisca due punti presi a piacere 

 sovra due lati del triangolo, non incontrerà il terzo lato „ : ed è questo il teo- 

 rema che regge, nell'opera di Staudt, il separarsi delle coppie armoniche (*). 

 La stessa proprietà si può a questo modo invertire: " Se una retta incontrali 

 complemento d'un lato e uno qualunque degli altri due lati, dovrà tagliare 

 eziandio il rimanente „. Cioè: 



P18-r>-. " Dati nuovamente a,b,c,d,a',b',c' come sopra; se t è un punto del seg- 

 " mento pi-j ab- {ac'b) ~ia~\b ed a" un punto del segm.*" {ba'c), le rette ca e 

 " ra" si taglieranno in un punto di {cb'a). „ [Posto b" = {ca .-^a") \Vh%l ecc.); 

 indi e = (aa" . bb"), e" = {ab .ce) come sopra; ne risulta {bc.ae) =a", {ca.be) = b"), 

 {ab . a"b") = t: sicché — giusta G;"J;6';c'')P17 e P3, 6 § 5 — ^ iab-{ac"b)-xa-~-xb, 

 c',e"eab-{a-{b)~ia-xb; e p.c. e" ^ {ac'b), 6"€(c6'a) (P13 § 6, P6).] Dalla P18 

 deriva subito quest'altra: " Ogni retta, la quale unisca due punti presi nei com- 

 plementi di due de" tre lati, taglia pure il complemento del terzo ,; cioè: 



PIQ-Tr. " Ferma stante l'HpPlT e presi ad arbitrio i punti r,a nei segmenti ab -^ 

 - {ac'b)~ia-ib, 6c~ (6a'c) -i6 ~ ic, le rette ca e fa si taglieranno sul segmento 

 " ca~(c6'«)~ic~ia. „ — E dall'insieme delle P17-19 si raccoglie che " Una 

 retta giacente nel piano del triangolo, ma non contenente alcun vertice, o non 

 incontra il contorno, o lo taglia in due punti „ ; vale a dire : 



P20-Tr. « NeirHpP17, se a, p e t siano tracce d'una retta arbitraria — giacente 

 " sul piano abc ma non passante per ninno de' punti a,b,c — sulle bc, ca, ab ; 

 " dovrà esser vera la propos.<' " a ~ e (ba'c), p ~ e (cb'a), t - e (ac'b) „ ; oppur l'altra 

 " " a e (ba'c), pe (cb'a), T~e(ac'6) „; o l'altra " a e {ba'c), P~e{c6'a), ■^^(ac'b) „; 

 " l'altra " a~e(6a'c), ^e{cb'a), t e{ac'b) „. „ 

 Notevole è altresì la seguente: 



P21- Tr. " Restando ancora neirHpP17, la retta congiungente due punti a" e b" posti 

 " dentro i segmenti (ba'c) e (cb'a) taglia sempre la retta ed nell'interno del trian- 

 " gelo {abcd). Ved. P5 „ [Si osservi dapprima — omesse le consuete citazioni — 

 che a"b" è una retta distinta da ciascuna delle èc, ca, «6 e che {ca"b) = {cah). 

 Le rette ed, a"b" si taglieranno fuori di a e le ab, a"b" (P17) fuori di (ac'b), ecc.: 



(*) Op. oit., n. 93: risultando quivi da certi principi che ben si possono attribuire alVAnalysis 

 situs (nn. 15-18 e 20). 



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