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" posizione " e" è fuori del segmento prj [ac'b), ne coincide con a o con b „ sarà 

 " equivalente a quest'altra: " le rette he e ca son tagliate dalla de" in punti, 

 " che giacciono dentro i segmenti (ha' e), {cb'ct) „. „ [Premesso che e" è necessa- 

 riamente diverso da d, e che la de" taglia ciascuna delle bc, ca (P7 § 2, P7, 21 § 3), 

 la proposiz." " c"~ e (ac'è) u la u lè ,, sarà equivalente alla " e" i.{cba)n{bac') „ 

 (P13, 20 § 5, P4 § 4), e questa alla " {ca . de") e {cb'a), [bc . de") e {ba'c) , — perchè 

 i punti {ca.de"), e, b' , a sono immagini dei punti e",e',b,a dall'occhio d, e il 

 simile accade per {bc . de"),b,a',e rispetto a c",b,a,e': ved. P12 § 5, P12 § 1, 

 P2,6§2.] 



Atteso che il triangolo {abed) non muta per lo scambio dei vertici (P8), né 

 se al posto del punto d si metta un altro punto qualsivoglia del triangolo stesso 

 (P12), la P13 si potrà enunciare in quest'altra forma: 



Plé-T/-. " Se una retta contenente un punto interno al triangolo incontra il comple- 

 " mento d'un lato, dovrà tagliare ciascuno degli altri due lati, e viceversa. , 

 Ved. PIO. 



Plò-Tr. " Sotto l'HpP? ogni retta giacente nel piano abc, pur che passi per un punto 

 " interno al triangolo (abcd) senza contenere alcun vertice di questo , taglierà 

 " due lati del triangolo stesso e il complemento del terzo. „ [Siano a", b", e" 

 le traccio di quella retta sulle bc, ea, ab (P21 § 8, ecc.). Se e" e {ac'b), si cade nel 

 dilemma " a" ~ i.{ha'c) o b" ~t{eh'a) „, non potendo avvenire che tutti e tre i 

 punti a', b', e' stiano sopra il contorno (P14). Dunque l'uno o l'altro dei punti 

 c",a",b" giacerà sul complemento d'un lato: e però si ritorna a P14.] 



P16-rr. " Presente l'HpP7, tolgasi nella retta ab un punto e" esterno al segm." {ac'b) 

 " ma diverso da a e da 6; e siano a",b" i punti, dove le bc.ca son tagliate 

 " dalla de" : allora il segmento {a" db") sarà tutto interno al triangolo (abcd), e 

 " il segmento {a"e"b") tutto esterno. „ [Si riscontra facilmente che e" è un abc 

 diverso da d; che de" è una retta nel piano abc, la quale non può coincider 

 con ah, né con ca; che a" è diverso da b, e, d, e"; e h" diverso da a, e, d, e", a": 

 ved. P13, P12, 25 § 1, P7,8 § 2, P20, 21 § 3, P4 § 4, P4 § 5. Inoltre, con una pro- 

 iezione da e, si verifica che c"^e{b"da") (P2, 6 §2,P12 §5); ep.c. che {b"da") o {b"dc") 

 (P29 § 5). Ora sia x un punto del segm." {a"db"), diverso dunque da a e da e: 

 le rette he ed ax si taglieranno in un punto di {ba'c) e le ab, ex in un punto 

 di (ac'b) {P12§5) ; sicché, giusta P2, 8, bisogna che x appartenga alla figura (abcd). 

 Suppongasi invece y t{a"c"b"): le ab e cy si taglieranno in un punto di {hc"a), 

 vale a dire (P2, 32 § 5) in un punto esterno ad {ac'h); cosicché (P7) y sarà esterno 

 ad {ahcd).^ 



La P16 — in presenza della P15, e poscia che un {abcd) qualsiasi può tener 

 luogo del punto d (P12) — ne dice, in sostanza, che : " Ogni retta del piano, la 

 quale contenga un punto interno al triangolo senza passar per un vertice, resta 

 divisa dai punti ov'essa taglia il contorno in due parti, l'una interna e l'altra 

 esterna al triangolo „. Che lo stesso fatto abbia luogo se quella retta appartiene 

 ad un vertice, è già parzialmente affermato in P5: il resto al Lettore. 



P17-rr. " Pi-emesso che a, b, e son punti non collineari, d un punto del piano aie ma 



