I PRIXCIPII DELLA GEOMETRL\ DI POSIZIONE, ECC. 39 



P2,6§2 — si deduce che fe{bdb'); e di qui, nello stesso modo (ossia per proje- 

 zione da e), che {ah . cf) e (ic'a): onde l'eguaglianza {b{ah . c/")a)=(ac'6)(P28,2§5). 

 D'altra parte — allegando prima C^"''/" ' '")P1 § 4, poi Cd)P2-4 § 4 — si deduce 

 che ae va distinta dalle ca, ah ; che le ae, he si tagliano in un punto del piano 

 ahc, non però sopra alcuna delle he, ca, ah ; che questo punto coincide con e, ma 

 è diverso da e ; e che infine le ah, ce si tagliano : sicché, projettando ac sopra ae 

 da h, poscia ae sopra ah da e, si viene a concludere che e(.((hc . ae)fa), {ah . ce) 

 e{b{ah . cf) a), {ah . ce) e {ac'h) : e. v. d.] 



Per la proprietà ora dimostrata, che è fra le principali intorno al triangolo, 

 le prop.' 1 e 2 prendono forma più regolare e simmetrica nelle seguenti P7, 9. 



Vl-Tr. " Essendo a,h,c,d come sopra (HpPl) e chiamando a',h',c' le proiezioni del 

 " punto d sulle he, ca, ah dai punti a, h, e, allora il triangolo (ahcd) sarà la classe 

 " dei punti (diversi da ciascun vertice) che projettati ordinatamente dai punti 

 " a,b,c (vertici) mandano le loro imagini dentro i segmenti (ha'c), {cb'a),{ab'c) 

 " (lati). „ [P6 conclude che, se due fra le immagini d'un punto e (distinto da 

 ognuno degli a, h, e) cadono negli anzidetti segmenti, anche la terza immagine 

 vi cade: sicché " P7 „ = " P2 „.] 



P8-Tr. " Sotto la stessa HpP7 i triangoli (ahcd), (head), (cahd), {chad), {hacd), (achd) 

 " coincideranno tutti in un solo. „ [Cosi dalla P7, con avvertenze a P2, 4 § 4, 

 PIO, 12, 25 §1, P2§5.] 



F9-Tr. ' Di piìi saranno verificate le eguaglianze: {abcd) = h{eb'a)n c{ac'b) = c{ac'b)n 

 " n a {ha'c) = a{ba'c) <-> b{cb'a) = a {ba'c) n b{cb'a) n c{ac'b). „ [Provengono dalla PI, 

 spostando in giro le lettere a, b, e, con avviso a P8.] 



,r 



* VlO-Df. " Ferma stante rHpP7 circa i punti prj a, b, e, d, a', b', e' : del triangolo {abcd) 

 " sono lati i segmenti prj {ha'c), {cb'a), {ac'b) e vertici ì punti a, b, e. Contorno 

 " del triangolo è la figura " {ba'c) u {cb'a) u {ac'b) uia^ib uic „ somma logica 

 " dei lati e dei vertici. Il segmento prj " ab ^{ac'b)~ia~ib „ (P13 § 6) sarà 

 " il complemento del lato (ac'b). „ 



Le P6, 7, 9 dicono in somma che " ciascun punto nel quale s'incontrino i raggi 

 che projetfcan due punti, presi a piacere in due lati, dai vertici opposti ai 

 medesimi, sta sempre in un raggio projettante dal terzo vertice un punto del 

 terzo lato e appartiene al triangolo „. — I punti del contorno rimangono 

 esclusi dal triangolo, a norma della P3 ; vale a dire : 



Pll-Tr. " Nessun punto del contorno d'un triangolo prj appartiene al triangolo. „ 



P12-Tr. " NeirHpP7, se un punto e giace nel triangolo prj abód, le figure {ahcd) e 

 " {abce) coincideranno. „ [Dal fatto che (P3, 2) e e abc ~bc^ca~ ab, {bc . ae)i.{ba'c), 

 (ca .be) e{cb'a), nascono — giusta P28 § 5 e atteso anche le P3, 4 § 4, P12 § 1, 

 P7 § 2 — le uguaglianze {ba'c) = {b {bc . ae) e), {cb'a) — (e {ca . he) a), che valgono 

 appunto la Th, grazie a (d)P2.] — In altri termini: " Due triangoli prj coinci- 

 dono, se hanno di comune i vertici e un punto. „ 



P13-7V. " Se appresso rHpP7 poniamo che e" sia un punto della retta bd, la prò- 



