38 MARIO PIERI 



questo § si studia appunto il triangolo, come porzione di piano atta a projettarsi in 

 un'altra della stessa natura: mostrandosi come le sue proprietà maggiormente intui- 

 tive e pili spesso invocate discendano senz'altro dai postul.' I°-XVn°. 



Pl-Df. " Siano a, b, e tre punti prj non allineati, d un quarto punto a piacere del 

 " piano prj abc, purché non giacente in alcuna delle rette bc, ca, ab ; e pongasi 

 ' a'= (bc . ad), b' = {ca . bd): allora, per " triangolo projettivo abcd „ — signi- 

 " ficato dalla scrittura " {abcd) , — s'intende il complesso di tutti i punti comuni 

 " alle visuali dei due segmenti prj (bac), {cb'a) prese rispettivamente dai 

 " punti a e b; ossia la figura '' a {b a e) r,b{c b'a) „. „ — Ved. le Df P3 § 4, PI § 3, 

 PI § 5 (*). 



PS-Tr. " E pertanto questa figura {abcd) non è altro che il luogo d'un punto prj x, non 

 " coincidente con a o con b, per cui le rette ax, bx incontrino rispett."' le rette bc, ca 

 " dentro i segmenti prj {ba'c) e (cb'a); tale in somma che le rette bc ed ax 

 " abbiano un punto d'intersezione (bc .ax) appartenente al segmento (ba'c), eie 

 " ca. bx un punto d'intersezione (ca . bx) appartenente al segmento (cb'a). „ [Si 

 equivalgono PI e P2, principalmente a motivo di PI § 3 e P14§1.] 



Per la chiara intelligenza di questo § si badi massimamente alle prime cinque 

 proposizioni del § 4. 



V3-Tr. " Sotto la stessa HpPl, ciascun punto del triangolo prj abcd starà nel piano 

 " prj abc, non però sopra alcuna delle rette bc, ca, ab. „ Dunque (abcd) abc ~ 

 ■^bc ~ ca ~ ab. [Da " xe{abcd) „ si deduce l'esistenza di yi e //a tali che^ie&c- 

 ■^ib^ic, y^eca-ic-ia, x = {ay, .by,): ved. PI, P7,8 § 2, P2-4 § 4, PI, 4 § 5. 

 Quindi anche " x€abc --bc^ca-àb „ — giusta P6 § 3 e PI § 4.] 



Pé-Tr. " E il punto d starà sempre nel triangolo prj abcd. „ [Come da P2, P12§1, 

 P2, 4 § 4, P3 § 5.] 



PB-Tr. " Anzi l'intero segmento (ada') sarà contenuto in (abcd), come pm-e il seg- 

 " mento (bdb'). „ [Se x€{ada), sarà prima di tutto xiabc-^ia^xb; quindi (grazie 

 a P12 § 5 e omessa ogni altra citazione) le rette ca e bx si taglieranno in un 

 punto del segmento (ab'c), e le bc, ax in un punto del segmento (ba'c).] 



P6-Tr. " Premessa ancora l'HpPl e detto inoltre e' il punto d'intersezione («6 . c(^) ; 

 " se poi e sia un punto diverso da a e da b, per cui le rette ae e be incontrino 

 " l'una il segmento (ba'c), l'altra il segm." (cb'a), sarà per forza e diverso da e, 

 " e la retta ce dovrà tagliare il segmento (ac'h). „ [Anzi tutto le bc, -ae come le 

 ca, be si taglieranno in un punto diverso da ciascuno degli a, b, e (P12 § 1, P7, 8§2, 

 P2-4§4, Pl,4§5), di modo che a(bc . ae) = ae,b(ca .be) = be,b(ca .bd) = bd 

 (P22§1): quindi a motivo di (('"^„,''«''_(™;'"*))pi § 4 si taglieranno anche le ae, bd 

 per modo che (ae . bd) e abc -^bc^ ca ~ ab. Pongasi f = (ae. bd); sicché: f-eia u ic, 

 af = ae, (bc . ae) -—f, {ab . cf) e [0] ~ i a ^ i b, giusta ($)P4 § 4. Ora per proiezione 

 dal punto a (P12 § 5) — visto che (bc .ae)è(ba'c) e avuto riguardo a P12§1, 



(*) Cfr. Staudt, Op. cit., n. 175. 



