36 MARIO PIERI 



d'accordo in molte proprietà, manifestandosi affini tra loro; e il simile accade 

 al l", 3° e 0°; e gli uni si distinguon dagli altri per molti caratteri: sicché giova 

 introdurre fin d'ora la seguente: 



Pll-Df. " Sotto l'HpPlO, diremo che l'ordine secondo a',b',c' è concorde con l'or- 

 " dine secondo a,}), e — od anche " <Sa\h\c're. Ccrdaa,b,cr , — quando si verifica 

 " una qualunque delle tre condizioni 2), 4), 6). Se invece i punti a', b', e' sod- 

 " disfano la 1) o la 3) o la 5), l'ordinamento secondo a',h',c' si dirà non 

 " concorde, o discorde, con l'ordine secondo a,b,c — scrivendosi allora 

 " " cia\b;c'r ~ e CcrdGa.b.cr „. „ 

 La relazione qui definita è riflessiva, transitiva e simmetrica; cioè: 



P12-Tr. " Ogni " ordinamento naturale su r „ (P9) è concorde con sé medesimo. „ 



PlS-Tr. " Sotto l'HpPlO si equivalgono le due affermazioni: " aa;b:c'ri.Ccrdaa,b,cr „ 

 e '■ Oa,h,cr i.Ccrdaa\b\c'r „. „ 



Plé-Tr. " Di pili, se si abbiano in r anche i punti distinti a", b", e", dal verificarsi 

 " ad un tempo che " Ga\b'yreCcrdaa,b,cr „ e che " Ga".b".c-'r eCcrd(ya',b;c-r „, se ne 

 " inferisce che " cra",4",c">' e Ccrrf<Ta,6,c»' ». „ 

 Più facilmente si proveranno i quattro Tr seguenti: 



P15-T»-. " Se nell'HpPlO gli ordini aa\b'.c'r e aa.b,cr son discordi, per contrario gli 

 " ordini cia\b\c'r e Gn.cfir concorderanno: e viceversa. „ 



F16-Tr. " Sempre che a, h, e siano punti prj distinti d'una retta r, gli ordini aa,b,cr, 

 " ffj,c,^r, cTca.jr saranno tutti e tre concordi fra loro, e così pure gli ordini Ga,c,br, 

 " <^c.b,ar, (yb.a.cr; ma questi discordi da quelli. „ 



P17-Tr. " Essendo r, a, b, e come sopra, e dato in r un punto e' diverso da a e da b, 

 " gli ordinamenti Oa,b.cr e Oa.b.c'r saranno concordi o discordi, secondo che il 

 " punto e' giace o non giace nel segmento [acb). „ 



P18- Tr. " Premessa 1' HpPlO, se gli ordini aaxcr e aa\b\c-r concordano, mentre i 

 " punti a ed a coincidono, sarà <Sa,b,cr = <5a\b-,e'r. Ved. PI, 2. „ 



I tre seguenti Tr, e il preced." con essi, danno singolare evidenza all'affinità 

 che intercede fra piìi ordini naturali concordi, e maggiore importanza ai rav- 

 vicinamenti stabiliti con la Df Pll. 



P19-Tr. " Se, nella stessa HpPlO, gli ordini (J„,6,cr e (Sa\b\o'r son concordi fra loro, 

 " e se un punto x coincida con a', oppur sia seguente a' nell'ordine <Ja,b,cr , 

 " la figura Oa.t.cX sarà tutta contenuta nell'altra Oa',b',c'X. „ 



P2,Q-Tr. " E se all'incontro x è un precedente a nell'ordine naturale a,b,c, sarà 

 " la figura GaXcX contenuta nella figura Oa- yya;. 



P21-T;-. " Data ancora 1' HpPlO, ma supposto che gli ordini 0a,b,cr e C5a\v,c'r sian 

 " discordi fra loro: se il punto x è un Oa.b.ca, la figura Ga,b.cX giacerà tutta nella 

 " <5a',b',c'x; se invece a; è un (Sa.b.co' o un la', la figura aa,b,cX nella. Ga',b'.c'X. „ [Così 

 dalle P20, ] 9, se in queste si permutano i punti b e e, con avvertenza a P8, 15.] 



