I PRINCIPI! DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 35 



" e " iau0^^c,ti^ „ coincidono. , Che è quanto dire: " I precedenti x secondo 

 l'ordine nat." a, i, e, trattone il solo punto a, sono i seguenti x nell'ordine nat." 

 a, e, b: semprechè x non coincida con a „. — Perciò la funzione inversa di a^b.^r 

 non ha propriamente la stessa natura di questa (come parrebbe dall'uso co- 

 mune dei termini " precedente „ e " seguente ,): quantunque si distingua a mala 

 pena dall'ordine secondo «, e, b. — Ne sarà forse superfluo avvertire, che due 

 punti, un de' quali segua o preceda l'altro, sono per forza distinti (PI, 6). 



P9-J5/". " Data una retta prj r, il nome collettivo di "ordinamento naturale 

 " su r „ — " ffr „ — spetta alla classe di tutti gli ordinamenti naturali 

 " possibili in conformità della Df P2, ciascuno individuato da tre punti distinti 

 " a,b, e presi ad arbitrio su r. „ 



Vengono appresso le Df di ordini naturali concordi, o discordi, e dei sensi o 

 versi d'una retta prj, con molte relazioni che ne dei'ivauo : la cui deduzione (bre- 

 vitatis causa) è rimessa in buona parte al Lettore (*). — Non si posson disco- 

 noscere i pregi, che tali nozioni ripeton dal concetto di moto: p. e. una grande 

 intuitività nella forma che le riveste; e insieme un contenuto ideale ragguarde- 

 vole per i moltissimi fatti, che in loro son compendiati e (quasi direi) conden- 

 sati. Ma queste doti, eminentemente sintetiche, per ciò appunto che hanno di 

 prezioso da un lato, men facilmente si piegan dall'altro a favorir quegli scopi 

 che si prefigge l'analisi. 



¥10-Tr. " Se tanto a, b, e, quanto a', V, e', son punti prj distjinti d'una medesima 

 " retta r, per essi divei-rà soddisfatta una almeno delle sei condizioni seguenti, 

 " due delle quali non potranno verificarsi ad un tempo: 



, e' e a„,i,X ; 

 „ e' €(T„ _(,,.«'; 



" 1) a'eo„,,,ò', nel mentre che b'i.a„,,^fi' 



" 2) 6'e(T„,i,,a', „ „ „ b'ea„^i,/ 



" 3) 6'ea,,,,,«', , „ „ b'ea,^,/ 



" 4) 6'ea„,i,,,a', „ , „ c'€(J„,,,,,6' 



" 5) «'eff„.j,,6', „ „ „ c'ea^t^Jj' 



" 6) a'€(T„,i,,6', „ „ „ c'e<T„,,,.6' 



[Poi che ciascuna delle coppie {a',b'}, ib',c'), [e', a') è soggetta a P4, saranno 

 vere ad un tempo le tre propos.': " a'eOaA^^' o b'^a^t^a' „, " 6'e(J„i,,.c' o c'è (T„ ,, ,.6' „ , 

 " c'ea^^i^s' a'eff„5,.c' ,: di più le corna di ciascun dilemma si escluderanno a 

 vicenda, in virtù di P3. Ora il prodotto dei tre binomi dà luogo a otto ter- 

 mini; due de' quali: 



" a' e G„^iJb' nel mentre che b' e (Sa,h,fi' e e' e (T„,i, „«' „ , 

 " 6'ea„,t,,a' „ „ „ c'^a^,,,,b' „ a'ea^^i^^c' „ 



svaniscono grazie a P3 e Po: i sei rimanenti son quelli che stanno alla Th.] 

 Questi sei casi — del modo in cui si succedono i punti a,b',c' rispetto all'or- 

 dine natur."* a, b,c — si posson distribuire in due gruppi naturali molto notevoli : 

 perchè (come si chiarirà nel progresso di questo §) il 2°, 4° e 6° caso vanno 



(*) Queste per altro (come accadde già di notare al § 6) non ricorrono affatto nel seguito. 



