34 MARIO PIERI 



cioè nell'un caso xeaa,b,cy e nell'altro y(.a„_i,,x, giusta ©PI'" e PI". Per " a;ei« ^ic 

 con iie{nbc) , si ritorna al caso preced.'' scambiando x con y. E se " xe{adc) 

 mentre ìjeiau\c „ sarà nell'un caso xeo^Ac*/, conforme ad ©PI"; nell'altro 

 (P13§6) a;e/-~ 'aèc) ~ la ~ ic, e qui pure a;ea„,,,.?/ conforme ad ©PI'': né diver- 

 samente accade, salvo lo scambio (^;p, allorché si suppone "ajeiaoic con 

 y^iadc) „. Infine, ancor che fosse " xeia con i/eic .,, oppure " xe\c con «/eia „, 

 sarebbe non di meno (PI")»/ eff^^i.^x, oppure xia^^^cj/-] 



F5-Tr. " Dati r,a,b,c come sopra, se a;, 1/ sono punti di r, ed y è seguente a; 

 " nell'ordine naturale a, b, e, tutti i punti che in quest'ordine seguono ad y se- 

 " guiranno anche ad x: cioè la figura cy^h»?/ sarà contenuta nella figura o^^i^.x. „ 



[Posto che d sia, come sopra, un punto del segmento r ~ (abc) ~ la ~ ic, si po- 

 tranno avere in ordine ad x quattro casi : ".re (abc) .,, " x€ {ade} „ , " x^ a ^, 

 '^ x = c „ (P13§6). All'Hp particolare " xe{abc) , corrisponde (Pl«) a^,,^^={acx) 

 quindi anche y(.{acx), per Rp: e qui potremo distinguer secondo che ye.(abc), 

 o yi.{adc), y ^ 0. Se y€(abc) (onde x ed y distinti sì da a che da e) sarà 

 a„^i,y ^(acy): e, poi che allora a; ~ e (acj/) (P2 § 6) , si deduce tosto ^ richiaman- 

 dosi a P29§5 — che {acy)';ì{acx) conforme alla Th. — Se ye{adc) — e p. e. 

 yer^{abc)^ia^ic, (T„,i,,«/ = r ~ (ac?/) - la ~ i«/ (P13§6,P1*) — si deduce in 

 primo luogo che {abc)i)iaby), èe(ac«/)(P29,19§5), onde {aby) = (acy) (P28 § 5); per 

 la qual cosa {abc)Q(acy), e nello stesso modo {adc)^{acx): dunque r-^{aey)Qr-^(abe), 

 ' vale a dire (P13§6, P3§5)r ~ facy) ~ la ~ iyo(aca;), e. v. d. — Infine se (ferma 

 stante l'Hp xi.{abc)) si suppone y = e, ne seguirà come dianzi {adc)'^\acx): e 

 questo appunto si cerca, però che adesso (PI**, P13§ 6) (?„,;,,„*/ ^ («eie). 



Seguitando, facciamo " xf.{adc) „: e però anche (Pl*)ff„,i,,ca: = ''~ («fa;)-^i«^ia;, 

 2/er — (aca;) ~ i« ~ la;. Ora da a;e/-~ (afe) ~ la ~ ic si deduce (come dianzi fu 

 fatto per y) che {abc)^{acx): ond'è forza che sia yer ~ (aèc)~ i« ~ ic e p. e. 

 a^t^y ^r--{acy)-^ia-^\y{Pl''). Ma da ^/er~ (aca;) ~ la si cava inoltre (P29§5) 

 che {acx) {acy), e quindi che r ~ (acy) - i a ~ i z/ r ~ [acx) ~ i a - i a; : risultato che, 

 per quanto s'è detto, esprime appunto la Th. 



Sotto la terza Hp particolare '' a; = a „, la T^ emerge subitamente dalla PP. — 

 Per ultimo, quando cioè si premetta '' x = c„, dovremo tenerci a a„_i,^,x^ 

 =: r-(a6c)~ la ~ ic (PI"*): ma da yer ~(a&c) - ia~ ic si deduce al solito modo 

 che (abc) (acy), e p. e. che r ~ {acy) -^xa^iy Q r -^ {abc) - la ~ ic: onde ancor qui 

 si verifica la relazione cf „!,_„</ g (T„,6,«a^.] 



F6-Df. " Ferma stante l'HpPl circa r, a, b, e, ed essendo x un punto qualunque di /•, 

 " con la scrittura " ff„,^,,a; ., — che può voltarsi in " precedente x nell'ordine 

 " naturale a, b,c„ — significhiamo il complesso di tutti que' punti y di r per cui 

 " sussiste la relazione " a; è un seguente y secondo a,b,c „. — In altri termini: 

 " <^a,6,t'" è la trasformazione inversa di (J„,(,,cr. „ 

 Si riscontra facilmente che 



Vl-Tr. " Essendo r,a,b,c come sopra, il punto a non ha precedenti nell'ordine 

 " naturale a,b,c — ma precede ogni altro punto di r. „ 



P8-Tr. " E per qualsivoglia punto x della r, purché diverso da a, le figure " cf„,i„a; „ 



