1 PRINCIPII DELLA GEOMETmA DI POSIZIONE, ECC. 33 



del §6, dopo la PI" nuli' altro dicono in somma che questo: " Essendo a,b,c 

 tre punti distinti sulla retta prj r, e d, e punti a piacere nel segmento {abc) : 

 1") non potrà darsi ad un medesimo tempo che d segua e ed e segua d nel- 

 r ordine naturale a,b,c; 2°) se il punto e sia un seguente d nell'ordine 

 natur.* a,b,c, ogni punto di r, il quale segua e nel detto ordine, seguirà del 

 pari anche d; 3») se d, e son distinti l'un l'altro, avverrà delle due cose l'una, 

 cioè sarà e seguente d, o d seguente e, nell'ordine natur.'' a,b,c „. — Son 

 questi appunto i caratteri che si ricercan per solito in un criterio ordinativo, 

 atto cioè ad ordinare gli elementi d'una classe: e si può tosto vedere (P3-6) 

 che tutti e tre concorrono infatti nell'idea significata dai termini " seguente x 

 nell'ord.'^ nat." a,b,c „ qualunque sia il punto x della retta. 



P3-Tr. " Posto che siano a, b, e tre punti distinti d'una retta prj r, ed anche x, y 

 " punti di r, è assurdo il supporre ad un tempo che y sia seguente Ai x, 

 " ed a; seguente di y, nell'ordine naturale a,b,c. „ 



[Prendasi un punto d nella figura r~(aèc)-ia~ic, come è sempre fattibile (P24§5). 

 L'Hp " x,yer „, conforme a P13§6, sarà equivalente al prodotto delle due 

 propos.' simultanee ) " xè{abc) „ o " xeiadc) „ o " xtia „ o " a;eic „! ed |" ye{abc) , 

 " yi.{adc) „ o " y(.\a o ' ye.\c „ j; il quale si scinde ipso facto nella somma 

 [o polilemma): " x,ye{abc) „ , o " x€{abc) con ye.{adc) „, o " x(.{adc) con ye{abc) „, 

 " x,yi{adc) ,,, o " x(.{abc) con yeia«->ic„, o "xeiauic con yi.{abc) „ o 

 " xe{adc) con y(.\au\r ,, o " xi.\a^\c con y€{adc) „ , o " x,yeia ,, o " xeia 

 con yeic „, o " xeic con yeia,,, o " x,yeic „. Ora, quando abbia luogo 

 " x,ye{abc) „ si ricade nella (5;9P2§6. Supposto invece " xe{abc) con ye{adc) „, 

 e p. e. (P28,32,4§5) yer ~ («a;c) - la ~ ic, ne viene che a;e{«c//)(P19§5): la qual 

 cosa basta ad escluder che x sia un ff„,6,c</: ved. 0;5)P1*. Il caso di " xe{adc) 

 con ye{abc) „ non si distingue dal preced." fuorché per lo scambio delle lettere x,y. 

 Né l'Hp particolare " x,y(.(adc) „ consente la coesistenza dei fatti yea„^i,x e 

 xi.a,i.jj; però che dall' ammettere insieme (PPjyer - (aca;) ~ ia~ i a; ed a; er~ 

 ~ {acy) ~ la ~ ly si verrebbe tosto a concludere (P4, 17 § 5) che xe{acy) ed y€{acx), 

 contrariamente al dettato di (ì;5;0P2 § 6. In ciascuno degli altri otto casi, basta 

 un'occhiata nelle Df Pi».».".'' per farsi certi della verità presunta.] 



P4-rr. " Siano r,a,b,c come sopra ed x,y punti di r, per altro non coincidenti; 

 " allora delle due cose l'una: o y sarà un seguente x, o x sarà un seguente y, 

 " neir ordine naturale a, b, e. „ [Sono anche qui da considerare gli stessi casi 

 del Tr preced.% tranne due soli, cioè " x,yeia , e " x,yèic ,, che rimangono 

 esclusi senz'altro dalla condizione y~^x. Ora l'Hp " x,ye{abc) „ fu già con- 

 templata in (5;»)P5§6. Se invece " xi.{abc), ma yf.{adc) „ si dedurrà, come nella 

 Dm preC^, yer~{axc)~ia; e dopo questo anche ye(acx){Plb%b), vale a dire 

 yea^i^^xiPl"): dunque è vera la Th per questo caso, come altresì per quello in 

 cui si suppone " xe(adc) con yi.{abc) „. Nell'Hp quarta, vale a dire " x,y€{adc) „ 

 non potranno valere ad un tempo le propos.' ye{acx) e xe{acy), vietandolo 

 (t;d;?)P2§6; per la qual cosa (visto che x,y~e\a) dovrà risultare yer~(aca;)~iff~tx, 

 oppure xtr ~ [acy) ~ la^iy: che è quanto si desidera (PP). Allorquando " xe{abc) 

 con yeiauic „ si deduce (P3, 4 § 5) che a;er-i«, mentre i/€ia, oppure yi{acx); 

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