

32 MARIO PIERI 



" proposizioni " e giace in [acd) -, " e giace in {a'c'd} „ sarà conseguenza del- 

 " l'altra. , [Ricorrendo a P4 § 5, P12 e P7, 21, 29 § 5 si ottiene successivamente: 

 a,c-€ ia'b'c'), a e {a'cc'), c'è {ca'a\ e' - e (a'ac), (a'ac) (a'ac'). Di poi circa i punti 

 d, e si deduce (P4, 28, 6, 11, 9, 29 § 5): d, e e (a6c)~ la'-ic' ~ la^ic, {a'dc') = ia'b'c'), 

 a ~ e (a'tic'), (^~ e {a'ac'), a' ^e(dc'a), e' - e (da'a), [dc'a] Q (c^cV). Ma da questo e 

 da quello si ritrae, con l'aiuto delle P2, 6 § 5 e P12: d-^e.{a'ac), c,c'^ t[aa'd), 

 (acd) = (ac'd), {acd) {a'c'd): sicché la propos." "e e [acd) , non può star senza 

 l'altra " e e {a'c'd) „. Infine dalla propos. " e e {a'c'd) „ si deduce che d^e{a'c'e), 

 grazie a P2 : poi, dal momento che è lecito lo scambio de' punti d, e nel risul- 

 tato anzidetto — grazie alla simmetria àeW'Hp rispetto ai medesimi, di guisachè 

 non può stare d e (ace) senza d e {a' c'è) — si deduce altresì che d ~ {ace), e p. e. 

 (P2) che " e e (acd) ,.] 



§ 7». 



Ordinamenti naturali e sensi d'una retta proiettiva. 



Pi-Df. " Premesso che «, b, e sono punti distinti d" una retta proj." /•, con la frase 

 " seguente x nell'ordine naturale a, b, e ,, — condensata nel simbolo " a„_i,^^ „ 

 — si vuol denotare: 



" a) il segmento " {acx) „, se a; è un {abc); 



" b) la figura " r ~ {acx) ^la-^ix „, se x è un punto di r esterno al segmento 

 " {abc) ma diverso da a e da e; 



" e) la figura " r~ i« „, se .t è un punto non diverso da a; 

 " d) la figura " r -- {abc) -^ ia-\c ,, se .» è un punto non diverso da e. , 



Per mezzo di questa propos.* è pienamente definito — nell'Hp fatta circa 

 r,a,b,c — un certo segno di funzione o di trasformazioìie " 0a,b,c „ che, posto 

 innanzi ad un punto della retta prj r, produce un'intera classe di punti sulla 

 medesima. Anzi ne contrae valore preciso anche il gruppo di segni " a„,t,,/- „ (P13§6). 



P2--D/". " Sotto la stessa HpPl, si chiama " ordinamento naturale di r secondo 

 a,b,c. — 0, piìi brevemente, " ordine naturale a,b,c„, o " Ga^t^^r „ — quella 

 trasformazione (di r in classi di r) che a ciascun punto .-e della retta coor- 

 dina i punti rappresentati da (y^,,„,v. „ 



Tutte le proprietà segmentarle de' due preced.' §§ si potrebber facilmente 

 enunciare come fatti inerenti all' " ordine naturale a,b,c „: anzi è questa 

 la via che si tiene per solito: domandandosi alcune proprietà dell' " ordine na- 

 turale (o moto proiettivo) secondo a,h,c „ per dedurne le cose piìi importanti 

 circa il separarsi fra punti, il segmento, ecc. (*) — Così le propos.' 2,4, 5 



(*) Cfr., oltre gli Aut.' citati, anche G. Vailati, Sui principi fondamentali della Geometria d'una 

 retta (' Rivista di Matem." ,, v. 2°, 1892). — Altri due ai-ticoH Sulle relaz.' di posizione fra punti 

 d'una linea chiusa, e Sulle proprietà fondami delle varietà da una dimensione del medesimo A. studiano 

 invece i postul.' da concedere, quando sia data per primitiva la nozione del ' separarsi , (Ibid., 

 V. 5°, 1895). — Ma forse non trova riscontro in alcun luogo la nostra definizione di questi 

 concetti, desunta dalle più semplici nozioni geometrico-projettive : il punto e la retta. 



