J PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 3) 



(afe) = {ace) (P4, 28 § 5). Ora d- e {ace) (P2); dunque d ~ e {afe), per cons-^» di{fea), 

 a-e{fed) — cosi a motivo delle ((;:)P13, 11 § 5: onde risulta (fea) = [fda), 

 (fed) ifea) — come prescrivono le (;;:ì';)P28 § 5, (^^^^C^W^^ § 5 — e però {def) o 

 (adf) (P2 § 5). Ma per fatto di fi.{acd) si avrà pure che rf ~ e {acf) (P2) ossia 

 che e ~ e {adf) (P6 § 5) ; sicché, giusta P29 § 5, iadf) sarà contenuto alla sua volta 

 in {ade), che è quanto dire in (a6c) (P28 § 5): e. v. d.] 



PlO-Tr. " Sotto la stessa HpP9 il punto e non può appartenere al segmento {daf), 

 " ne coincider con d o con f. „ [Perchè qui, come dianzi, sussistono le relazioni 

 d,e,fir^ia,d^ = e, e-~=f. d-~€ {afe): con esse (PS § 5) anche l'altra e-e{fad); ecc.] 



Fll-Tr. " Siano tuttora a, b, e punti distinti d' una retta prj r, e poniamo che d, f 

 " siano punti del segmento {abc) tali che f appartenga al segmento {acd); 

 " poscia e sia un punto di r esterno al segmento {daf), ma diverso da e? e da f: 

 " dico che i punti e, f giacciono il primo nel segmento {acd), l'altro nel seg- 

 " mento («ce). „ [Fra i punti a,c,d,f intercedono le relazioni d,f€r~ia~ìc, 

 f-^ = d, {afd) = {acd), de {caf), e e {daf) (P4, 28, 6, 31 § 5); e p. e. {caf) = {cdf), 

 {daf) = {dcf). Circa il punto e si deduce — guardando la (^';;(;3)P13 § 5 — che 

 e e {afd): e pertanto che e e {ned). Ma, per ciò che si è detto, abbiamo altresì 

 che e ~ = « (P4 § 5), e ~ e {dcf) ; quindi che e e {cdf) - la (P16 § 5), e p. e. che 

 e€(ca/')~ia: dunque sussiste ancora la relazione fe{ace).] 



Pi2-Tr. " Dati /•, a, b, e come sopra, se d, e sian punti esterni al segmento {abc), oltre 

 " che l'uno e l'altro diversi da ciascuno dei punti a e e; bisognerà che il punto e 

 " stia nel segmento {ade): per la qual cosa i segmenti {ade), {aee) coincideranno. „ 

 [D&ÌVHp abbiamo — per via di P3, lo, 17 § 5 — che d^ = b,e~ = b, c,d,ee{acb), 

 c€{abd),c€{abe); quindi che (acc?) = (aèc?), conforme (J;5)P28 § 5. Dunque, po- 

 niamo che sia e e {acd), ne verrà che e e {abd), poscia — a motivo di {bf4WlO — 

 che e--€{dac), e infine che e e {ade), giusta P16 § 5. Se poi e-f.{acd), sarà vero 

 ugualmente che e e {ade) (P15 § 5). Il resto è detto in ((■3)P28 § 5.] 



FlS-Tr. " Se in una retta prj r son dati tre punti distinti a, b, e, poscia un quarto 

 " punto d non interno al segmento {abc), ne coincidente con a o con e, è forza 

 " che ogni altro punto e della retta r appartenga ad uno dei segmenti {abc), 

 " {ade), se non coincide con a o con e: sicché r := {abc) u {ade) uia uie. ,, [Si 

 consideri che il supporre (accanto edl'Hp) " eer ^{abc) -la-^ic „ trae seco, in 

 virtìi di P12, la condizione e e {ade). Dunque la propos.^ condiz." " e e >• , impli- 

 cherà senza più che " e e {abe) u{ade) uiauic „. Che poi quella sia conseguenza 

 di questa , è già detto in PI § 5.] — Questa propos." e l'ultima del preced.'' § 

 dicono in somma che " Due punti prj distinti « e e spezzan la retta prj in due 

 parti {abc) e {ade), le quali non hanno alcun punto in comune, ma prese insieme 

 coi termini comuni aee riproducon la retta „. 



P14-Tr. ■• Siano r, a, b, e come sopra, ed abbiansi in r anche i punti a', b', e' distinti 

 " fra loro e tali, che il segmento {a'b'e') sia contenuto nel segmento {abc), senza che 

 " alcuno dei punti a' e e' cada in a o in e; di più e' appartenga al segmento {aea'): 

 " allora, presi a piacere i punti d, e nel segmento {a'b'e'), ciascuna delle due 



