30 MARIO PIERI 



V3-Tr. " Siano a, b, e, d, e punti [a, b, e distinti fra loro) d'una retta prj i% ma i punti 

 " d ed e (non coincidenti in a) siano esclusi dal segmento (abc) : allora non potrà 

 " darsi ad un tempo che e stia nel segmento {abd), e d nel segmento {abe). , 

 [L'Hj) adduce d,ef.{acb), presupposto che d ed e siano ambedue diversi da a 

 (P15 § 5): sicché allora basterà riferirsi a (tc)P2. Ma il Tr è vero (Pi § 5) quan- 

 tunque uno solo dei punti d, e sia distinto da «.] 



P4-T/-. " Essendo r, a, b, e come sopra, e posto che d, e siano punti del segmento 

 " [abc], e che di più e stia nel segmento [acd), bisognerà che il segmento (ace) 

 " sia contenuto nel segmento {acd). „ [Si deduce infatti — richiamando P4 § 5 

 e P2 — che (^, e e )• ~ la ~ ic, c^ ~ e (ace): quindi anche la Th, in virtù di {l''c}F29 § 5.] 



P5-Tr. " Se, dati sempre r, a, b, e come sopra, d, e siano punti del segmento {abc) 

 " l'un l'altro distinti ; allora, o il punto d giacerà nel segmento {ace), o il punto e 

 " nel segmento {acd). , [DaìVHp e dalle P4, 28 § 5 risulta che d, e^ r -^la^ic, 

 e e (ade); e p. e. — avuto riguardo a (6)P21§ 5 — delle due cose l'una: o e-è{dca), 

 e -^i {caci). Ma nel primo caso sussiste la relazione de {ace), nel secondo la 

 relazione e e {acd): come prescrivono le fó;?,J)P18 § 5, C4;^)P16 § 5.] 



PG-Tr. " Nel supposto che a, b, e sian punti prj distinti sopra una retta r, e che d 

 •• sia un {abc) diverso da b, si conclude che i punti di r non giacenti nel seg- 

 " mento (bad) stanno tutti nel segmento (abc). „ [Ammessa ì'Hp, per certo d cade 

 in r senza coincider con a o con e; di più concorre la relazione de{acb), oppur 

 l'altra b e {acd) — grazie ad C)P5, e P4, 3 §5. Ma nell'un caso avendosi e, d e {adb) 

 — per (^;!:)P6 § 5 — si può dar luogo a (t';5'j)P4 e concluder con essa che {abd) o {abc); 

 per la qual cosa ogni punto della figura " r ~ (bad) -id „ giacerà in {abc), come 

 spettante alla figura {abd) : ved. C,?'j)P16 § 5. L'altro caso nasce dal primo attra- 

 verso la sostituzione Q, fatta avvertenza a P6 § 5 : e propriamente a questo 

 modo si trova che la figura '• r-{dab)-'\b „ sta nel segmento {ade); ma ciò 

 basta al Tr , date le P2, 28, 3 § 5.] 



Pl-Tr. " Dati r, a, b, e come sopra, e presi nel segmento {abc) due punti a piacere 

 " ^ ed e purché non coincidenti, tutti i punti di r che sono esclusi dal segmento 

 " {dece) giaceranno nel segmento (abc). „ [È questa un'estensione della prec.» P6, 

 nella quale ritorna mediante lo scambio (ij): fatta ragione di (abc) = (ade), 

 e e (ade), ecc.] 



P8-Tr. " Siano r,a,b,c come sopra; inoltre d,f sian punti nel segmento {abc) tali 

 " che f appartenga ad (aed); poscia e denoti un punto di r non coincidente con 

 " d con f, ma tale che il segmento {def) risulti contenuto in (abe): allora il 

 " punto e giacerà nel segmento (acd). „ [Da una parte VHp implica d,fe.r-\a--\e, 

 f-^ = d, (aed) = {dfa); per fatto delle P4, 2 § 5, (J:f;0P28 § 5. Dall'altra a-e{def), 

 e quindi e e (dfa), se si guardi a P4 § 5, fói;S)P19 § 5.] 



P9-r;-. " Supposti r, a, b, e come sopra, siano d, e, f punti del segmento (abe) tali che 

 " e stia nel segmento (acd), f nel segmento (ace): si conclude che il segmento 

 " {def) sarà interno al segmento (abc). „ [In primo luogo si ha che d, e, 

 fer^ia-^\c,ft{acd) (P4 § 5 e P4); e pertanto che e- = d.f-^ = d,f- — e, 



