I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 29 



§ 6». 

 Altre proprietà segmentarle. 



Nel presente § e nel successivo si svolgono diverse altre conseguenze impor- 

 tanti dai postul.' preceda (segnatamente dagli ultimi): come la maggior parte di 

 quelle proprietà, che per lo più compariscon ravvolte nella indistinta nozione di 

 linea chiusa, o rientrante in sé stessa. — Il materiale dei §§ 1-6, col postul.» XVni° 

 sulla continuità del segmento (§ 9°), è preparazione sufficiente allo studio delle tras- 

 formazioni omografiche, e permette, come vedremo (§ 10), di stabilire il teorema 

 fondamentale di Staudt senz' alcun riguardo ai sensi o versi della retta (cui per altro 

 è dedicato il §7). 



Pl-Tr. " Premesso che a, b, e sian punti d'una retta prj r, se un punto d giace nel 

 " segm.'° {abc) senza cadere in b, la figura (aèc) - 16 ~ uZ non è nulla. E, se sia 

 " dato un punto e della classe (abc) ~\b -^id, la figura {abc)^ ib ~id ^le non 

 " è nulla. Ecc. „ [Uno dei segm.' (bea), [cab) deve escludere il punto d{P2l § -5): 

 poniamo ad es. che d ~ e(èm), vale a dire (P20 § 5) che d e (cab) n (abc). Ora, per 

 mezzo di (t;?)P24 § 5, sappiamo che la figura r - (acd) ~ia--id contiene dei punti, 

 necessariamente diversi da b (poi che b e [acd) secondo la C;ì;,c)P18 § 5) : onde si può 

 dire altrettanto della figura (ade) - id (giusta (?'j)P15 § .5), e della figura {abc)^id 

 (P28 § 5). Sia dunque e un punto della classe non illusoria (abc) ~ (acd) ~ i6~i(/. 

 L'Arm{a,e,c) sarà (P24 § .5) un punto f della figura r ~ (ace) ~ ia~ le; quindi 

 giacerà nel segmento {aec) (P4, 15 § 5), vale a dire {abc) (P28 § 5) : ne potrà cadere 

 in d, perchè c^ e (ace) (P4, 17 §5); ne in b, perchè b€{acd), mentre il segmento 

 {acd) è contenuto nel segm. (ace) (P29 § 5). — Lo stesso vale per l'altro caso, 

 in cui d~e (cab), sol che si scambino le lettere a e e fra loro.J 



Il processo della dimostrazione anzidetta si può prolungare ad libitum, consi- 

 derando l'armonico g dopo a, f, f, poi l'armonico h dopo a, e, g, e così via : che 

 tutti si proveranno distinti fra loro e dai precedenti. Così può constatarsi entro 

 un dato segmento la presenza di punti in numero grande quanto si vuole. E in 

 modo simile a questo si prova eziandio l'infinità della serie armonica 



«oj <*i! tti, . . . o!)i_i , flifc, fffc-).i , . . . ; 

 costruita a partire da tre punti ao, «i, «2 collineari e distinti, per modo che 

 «3 = Ann (rto, «2, «i), • • • > «ìH-i — -^''''* i'^f^ ^''1 ^*-i)- 



PS-Tr. '• Premesso che a, b, e sono punti d'una retta prj r l'un l'altro distinti, e presi 

 " a piacere i punti d, e nel segmento {abc), se avvien che d appartenga al seg- 

 " mento {ace), non potrà darsi che e appartenga al segmento {acd): cioè sarà 

 " impossibil supporre ad un tempo di. {ace), ei{acd). „ [Dall' Hp emerge (P4 §5) 

 che d, ceraia ~ic, g ~ = rf; p. e. — fatto luogo a {Ì'c)VQ § 5 e P31 § 5 — che 

 e e {ade) n {dae) ; e infine che e e {dac) n {ade), conforme a l^-;;)- , (iZfd)^^ § ó- Ma 

 quest'ultima relazione — in virtù delle (?)P2 § 5 e (J;f;^)P21 § 5 — equivale ad 

 e ~ e {acd), che è la Tfe.] 



