28 MARIO PIERI 



Per altro, sul fondamento dei postul.' ammessi fin qui, non par che si possa 

 aftermare l'esistenza di infiniti punti sopra una retta prj, ne il fatto che questa 

 sia forma chiusa, o rientrante in se stessa. A ciò sopperisce il seguente: 



POSTULATO XVII». 



P36. Dato che a, h, e siano punti proj." collineari e distinti, e che d sia un 

 punto, diverso da b, nel segmento {abc); poscia e sia un punto del seg- 

 mento [ade): si conclude che il punto e sta nel segmento (abc). 



È questa una relazione fra cinque punti a, b, e, d, e: da ciò la sua maggiore effi- 

 cacia in paragone delle premesse XIV*, XV* e XVI*, che son relazioni fra quattro. 

 Essa può trasformarsi in più modi; ad es. cosi: " Se i punti « e e (sopra una 

 retta prj) non siano separati dai punti b e d, ne dai punti d ed e, neppur saranno 

 separati dai punti 6 ed e ,. Ancora — tenuto conto delle P21, 22 — la P26 si 

 converte in: 



P27-rr. " Non esiste alcun punto comune a tutti e tre i segmenti (ade), {bea), (cab) 

 " — dove a, b, e sian punti collineari e distinti, e d un punto del segmento {o,bc). „ 



PSS-Tr. " Dati i punti prj a, b, e collineari e distinti, e preso a piacere un punto d 

 " nel segmento (abc), sempre accadrà che i segmenti (abc) e (ade) coincidono. , 

 [Invero, qualunque punto e del segm.° (ade) giacerà in (abc) (sia pur «Z = 5) — 

 siccome attestano la P26 con PI (questa, ove fosse d^^b, ne darebbe (ade) = 

 = (abc), visto anche le P13 § 4 e P2l § 1). Viceversa ogni punto f del segmento 

 (abc) giacerà in (ade); dal momento che (P6) " de (abc) , = " b€(adc) „, per cui 

 si ritorna a (tii)V26, ecc.] 



P29-Tr. - Se, premessa rHpP2, si considera in r un punto d non appartenente al 

 " segmento (abc), ma diverso da a, sempre il segmento (abc) sarà contenuto dal 

 " segmento (abd). „ [De' due casi d = c,d-- = e basta esaminare il secondo. Ora, 

 se accanto sAVEp pongasi la propos.'= condiz.'^ " x e (abe) „ , per la quale risulta 

 (abc) = (axe) ed- e (axe) (P28), ne verrà — date le P4 e (J)P19 — che " xe{acd) ... 

 Ma per essere ce (abd) (P17), e però anche — grazie a (l'i)P28 e P3 — (abd) ed 

 {acd) coincidenti, ne viene ancora che * xe(abd) „: e. v. d.] 



P30-rr. " Se oltre rHpP2 si suppone che d eà e siano punti del segm." (abc), biso- 

 " gnerà che i segmenti (ade), (aec) coincidano. „ [Perchè uguali entrambi al seg- 

 mento (a6c)(P28).] 



PSl-r?-. " E se i punti dea e sian distinti, e starà nel segni." (daé). „ [Dal momento 

 che e e (ade) P28), d non coincidente con a o con e (P-t): sicché può allegarsi (ì'ì)P7.] 



P32-Tr " Data l'HpPlS, non potrà esistere un punto comune ai segmenti (abe) e (ade). „ 

 [Da " xe{abe) n (ade) „ nascerebbe (P28) (abc) = (axe), (ade) = (axe), quindi anche 

 (abe) = (ade); che è contro YHp, perchè de (ade) ~ (abe) (P3): dunque la propos.* 

 virgolata è assurda rispetto ad x.] 



