I PRINCIPII DELLA GEOMETRL\ DI POSIZIONE, ECC. 27 



[È questa il prodotto logico di P13 e P16 — dal momento che (bac) — (cab) per 

 fatto della (a,")P2.] — Col principio seguente ammettiamo per vera Ja reciproca 

 di questa P20, e cioè: 



POSTULATO XVI». 



P21- Essendo a, b, e punti proj attivi distinti d'una retta r, se un punto d 

 appartenga ad entrambi i segmenti [bea) e {cab), non potrà appartenere 

 al segmento [ahc). 



Queste ultime propos.' 20 e 21 dicono in somma: " se avvien che le coppie 

 a,ceb,dsì separino a vicenda, non potranno separarsi le coppie a, è e e, (^, 

 ne le a, (^ e è, e ; e reciprocamente „ : sicché " quattro punti distinti sopra una 

 retta si posson sempre distribuire, benché ad un sol modo, in due coppie che 

 si separino ,,. La P21 si può anche foggiare simmetricamente così: ' 



P22-rr. " Non può esistere un punto comune a tutti e tre i segmenti {abc), (bea) e 

 " {cab), determinati dai punti prj a, b, e collineari e distinti. „ 



Si può adesso provare in modo al tutto rigoroso — appoggiandosi alla 

 projettività del segmento e senza scostarsi dai più comuni trattati — che 

 " l'armonico dopo a,b,c è separato da e per mezzo di a e b „ (*) ; vale a dire : 



P33-7V. " L'armonico dopo tre punti prj a, b, e collineari e distinti non appartiene 

 " al segm.o [acb), né coincide con a o con b. „ [Pongasi d = Arm{a, b,c); e sia, 

 come al § prec. passim, uva'b' un quadrangolo costruttore del gruppo a, è, e, e? : 

 pertanto w, »e[0]-aè, w-^t?, a' = {au.bu),b'={av.bu), e' =(uv .a'b')(PS,l,2,ò, 

 6, 13, 14 § 4). Il punto d sarà distinto da a e da b (P7, 13 § 4) non solo, ma ben 

 anche da c(P17 §4); e inoltre e' distinto da a' e b', e questi fra loro. Ora dal 

 supporre " d~e{cba) „ si dedurrebbe, per proiezione da m (P12), " (^~e [c'b'a') „, 

 e di qui , per projezione da v, " rf ~ e (cab) „ ; che non può stare , vietandolo 

 (S'")P1.5: dunque bisogna conceder che d(.{cba). Ma per egual modo si conclude 

 che de (bac). Onde (P21) la relazione d~e{acb).] 



P24-Tr. " Dati sopra una retta prj r i punti a,b, e distinti fra loro, esisterà sempre 

 " in r un qualche punto prj non appartenente al segmento (abc), né coincidente 

 " con a con e. „ [Tale di fatti è il quarto armonico dopo a, e, b. Ved. P7,8, 13 §4 

 e (t;t)P23.] — Resta così certificata l' esistenza di due coppie di punti (tutti e 

 quattro allineati e distinti) le quali non soffrono una terza coppia armonica ad 

 entrambe (PI); perciò l'Hp delle P18, 17-20 non si potrà impugnare. È anzi certa 

 l'esistenza di almeno tre punti prj in ogni segmento, cioè: 



P25-rr. " Essendo a,b,c punti tuttavia collineari e differenti fra loro, tanto 

 " ì'Arm{a,b,c) quanto l'Arm{b,c,a) giaceranno sul segmento [abc), distinti l'un l'altro 

 " e da è. „ [Perocché dall'fl^ abbiamo (P23), che " Arm {a, b,c)er-^ (acb) ~ la ~ i6, 

 Ann (b, e, a) er - (bac) - i6- ic „ ; e p. e. — attraverso (6;^)P2, 15 ed (S;?)P16, 15 — 

 anche : Arm (a, b, e) e (abc) ~ (bea), ed Arm {b, e, a) e (abc) n (bea).] 



(*) Ved. p. e. Rete, Die Geom. dei- Lage, \" Abth., s. 32 (2.' Aufl.'). 



