2g MARIO PIERI 



relazione. — Quanto alla proposiz.'^ notissima che " due coppie di punti tutti e 

 quattro distinti sopra una retta prj comportano, o no, l'esistenza d'una terza 

 coppia armonica ad entrambe, secondo che non si separano, o si separan, 

 fra loro „ essa non è più che una pura modificazione della nostra Df del segmento 

 (PI). La quale apparisce informata dallo stesso criterio, a cui s'ispira la celebre 

 definizione Staudtiana della " corrispondenza projettiva tra forme sem- 

 plici „ — definizione, come ognun sa, fondata sulla nozione di gruppo ar- 

 monico (*). 



POSTULATO XV». 



P13. Essendo a, h, e punti progettivi distinti d' una retta r, e ammesso che d 

 sia un punto di r non appartenente al segmento [abc), né coincidente 

 con a con e, forz'è che questo punto d appartenga al segmento [boa). 

 — La restrizione, che d sia diverso da e, vien fatta qui al solo scopo di non 

 affermare alcun che di superfluo in una propos."^ primitiva (Cfr. P9 § 3). Del resto 

 essa può immediatamente rimuoversi guardando ad C;6',;)P3: onde la P13 si potrà 

 riprodurre in questa forma: 



Pl^- Tr. " Data l'HpPS, il punto d dovrà per forza giacere in {ben). „ 



Viò-Tr. " Nella stessa HpP8, il punto d giacerà nel segmento {acb). „ [Siccome 

 attestano le (!;;5;;)P2 e P14.] 



PIG-Tr. " Supposti r, a, b, e come in HpP2, qualunque punto giaccia in r senza appar- 

 " tenere al segmento [abc), purché diverso da e, dovrà appartenere al segmento 

 " {bac). „ [Così da fó)P14, e P2.] 



Fn-Tr. " Nell'HpPlS il punto e starà nel segmento (abd). „ [Dall'flp nasce, in virtù 

 di P16, che de (bac): quindi la Th in virtù di (''."^P?.] 



V18-Tr. " E il punto a nel segmento (cbd). „ [Perchè (P2) la sostituzione ('■;) non 

 altera l'HpPl?.] 



P19-T/-. " E il punto b nel segmento {acd}. „ [Dsdì'Hp, per essere (P17) e e (abd), si 



deduce la Th allegando (l'5)P5.] 

 P20-Tr. " Premessa ancora l'HpPlS, il punto d sarà comune ai segmenti (bea) e {cab). „ 



(*) Op. cit., n. 103. — Il ' segmento prj , non è da confonder col ' segmento individuato 

 dalle sue estremità , che .'ii offre ad es. nella Geometria metrica di Euclide e di Lobatschewski, 

 e che — principalmente a motivo della grande intuitività che gli viene dal comun significato fisico 

 del termine " punto , — fu scelto all'officio di ente primitivo dai sigg. Pasch (Op. cit.) e 

 Peano {Principi di Geometria logicamente esposti: Torino, Fr. Bocca, 1889 — Sui fondamenti della 

 Geometria: ' Rivista di Matematica „ v. IV°, 1894). Ai quali vo debitore di molti ammaestramenti; 

 quantunque non entri affatto nei Loro disegni il proposito, che gli enti primitivi e gli assiomi 

 abbiano qualità invariantive per proj elione e per dualità. — La prevalenza qui conceduta 

 al " segmento prj „ sulla nozione del " separarsi „ fra punti ebbe argomento dal desiderio di 

 ridurre al possibile ogni concetto geometrico a quello di ° classe di punti prj , , stimato più sem- 

 plice e più maneggevole d'ogni altro. 



