I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 25 



V6-Tr. " Siano r, a, b, e come sopra, e d rappresenti un punto di »• non coincidente 

 " con a con e: allora sai-anno equivalenti le due propos.' " d appartiene ad 

 " (abc) „ e " b appartiene &d{adc) „. „ [Quest'è la P5 con la reciproca (6;d)P5.] 



Vì-Tr. " Premessa ancora rHpP2, se avvien che un punto d appartenga al segm.*" 

 " {ahc) senza cadere in h, bisognerà che il punto e appartenga al segm.*» {bad). „ 

 [DairHpP2, rinforzata con " (/ e r ~ la ~ \c, y' = Arm (a, e, y), d — Arni (y, y', b), 

 d~ — b„ si trae, per mezzo delle P17, 16 § 4, che y ~ = y', t/ ~ = ^> il' ~ = è; 

 indi, per mezzo delle P19, 16 § 4 : 2/' = Ann {b, d, y), e = Arm {y, y' , a), y~ = d. 

 Dunque l'ammettere, unitamente airHpP2, che de{abe)^ib, equivale ad esclu- 

 dere — giusta P4 e PI — che d coincida con b con a, e che la proposizione 

 " y^r^ib-^ìd, c = Arm{y, Arm{b,d, y),a) „ possa riescire assurda in y: ma 

 quest'è appunto la Th, in virtù di {ì'X'l'.dì^'^-ì 



PS-Tr. " Se all' incontro d sia un punto di r non posto nel segmento {abc), ne 

 " coincidente con a, il punto e non potrà stare nel segmento (bad). „ [Per Hp 

 d^^=b (P3) : onde l' ammettere e e {bad) porterebbe a concludere — vista la 

 C:°;»;d)P7 — che rf e (abc), contro VHp.l, 



PQ-Tr. " Se, ferma stante rHpP2, abbiasi in r un punto qualunque d, purché diverso 

 " da a e da è, ciascuna delle due propos.' " d appartiene ad iabc) „ , " e appar- 

 " tiene a {bad) „ sarà conseguenza dell'altra. ,, [E la P7, in uno con la reciproca 



PlO-Tr. " Premessa rHpP2, se un punto d giacerà nel segmento {abc) senza cadere 

 " in b, per conseguenza il punto a giacerà nel segmento {bcd). „ [L'Hp involge 

 la relazione d^{cba)^ib(P2), da cui nasce senz'altro la T/i mediante (o',c)P7.] 



Pll-Tr. " Se appresso rHpP2 si suppone, che d sia un punto di r non coincidente 

 " con b con e, le asserzioni " d giace in (abc) „ , "a giace in {bcd) „ si 

 " equivalgono. „ [Cosi da (:;)P9 e P2.] 



Della proprietà projettiva, significata in P15§4, partecipa ipso facto il 

 segmento projettivo, grazie alla nostra PI. Dunque: 



P12-Tr. " Abbiansi due rette prj distinte r, r', cui rispettiv.* appartengono i punti 

 " a, b, e, d e «', b', e', d' per modo, che tanto a, b, e quanto a', b', e siano distinti 

 " fra loro; ed esista un punto prj p allineato con a e a', b e b', e e e', d e d' : 

 " allora delle due propos.' " d appartiene al segm.° (abc) „ e " d' appartiene al 

 " segm." (a'b'c') „ ciascuna sarà conseguenza dell'altra. „ 



Per significare qualmente " un punto d, pur giacendo nella retta prj r, non ap- 

 partenga al segm." {abc), ne coincida con. a con e „ si può — conforme l'uso di 

 molti — adottar l'espressione: " i punti b e d sono separati dai punti (0 - per mezzo 

 dei punti) a e e „. Onde la locuzione " i punti b ed non sono separati dai punti a e e „ 

 starà in vece dell'altra : " il punto d appartiene al segmento (abc), seppur non 

 cade in uno degli estremi « e e di questo „. — Le propos.' 2, 6, 9, 11 mostrano 

 che la relazione del separarsi fra i punti a e e da una parte e i punti b e d 

 dall'altra, non è turbata dallo scambiar fra loro i punti a e e, i punti b e d, 

 le coppie (a, e) e (b, d). E la P12 fa fede altresì della projettività di questa 

 Serie H. Tom. XLVIII. t> 



