24 MARIO PIERI 



PIQ-T/-. ° Sotto la HpP17, chiamando d l'armonico dopo a,b,c, è forza che l'armo- 

 ■• nico dopo e, d, a coincida con b. , [Per la dimostrazione veggasi Staudt, 

 G. d. L., n. 96.] — In ciò consiste la permutabilità di due coppie armo- 

 niche («, i) e {e, d), pur che a sia diverso da è, e e da d. 



§ 5». 

 Il segmento projettivo (*). 



Vl-Df. " Premesso che a, b, e son punti d'una retta prj r l'un l'altro distinti, il 

 " " segmento projettivo abc „ — rappresentato dal segno " {abc) „ — non è altro 

 " che il luogo d'un punto prj x, a cui si può coordinar sulla r un qualche punto y 

 " diverso da a e da e, per modo che x sia l'armonico dopo y, Arm(a,c,y) 

 " e è. ,, — Sotto altra veste (P6, 10, 13, 17§ 4): " {abc) sarà il complesso di 

 tutti que' punti, ognun dei quali è armonico di b rispetto a due punti armonici 

 l'un l'altro rispetto ad a e e, ma non coincidenti fra loro „. 



P2-T/-. " Essendo (come sopra) /• una retta prj, ed a, b, e tre punti di questa l'un 

 " l'altro distinti, le figure {abc), (cba) necessariam.'^ coincidono. „ [Da PI ed 

 (;;?)P1, in virtù di P9, 13§4, ecc.] 



PS-Tr. " Sotto la stessa HpP2, b sta sempre nel segmento {abc). „ [Si può inferir 

 dall'jHp e dalla P16§4 l'esistenza d'un punto y di *•, non coincidente con a o 

 con e ma tale, che b sia l'armonico dopo y, Ann («, e, y) e b: basta invero toglier 

 b per y.] 



Pé-Tr. " Ma de' punti « e e, per contrario, nessuno appartiene al segmento prj {abc). „ 

 [Perchè a fosse un punto della figura {abc), bisognerebbe poter soddisfare la 

 condizione " v/e /--la-ic, y =Arm {a, e, y), a = Arni (y, y', b) ,,. Ma questa propos." 

 è assurda rispetto ad y; perciocché, se fosse congiunta aìì'Hp, ne darebbe qua- 

 lunque sia y (P17, 19, 10, 13, 16 § 4) y'~= y, e =Ann{y, y', a) e b = Ann (y, y', a), 

 e p. e. J =3 e (P12 § 4): che è contro VHj}. — Appresso ne viene che e - e {cba) 

 (poi che lo scambio di a con e non altera VHp) ovvero (P2) che e - e {abc).] — 

 I punti a e e si posson chiamare opportunamente " gli estremi „ del segmento 

 prj {abc). 



F5-Tr. " Nelle stesse Hp circa r, a, b, e, e ogni qualvolta d sia un punto del seg- 

 " mento prj (abc), b dovrà appartenere al segmento prj {ade). „ [L'HpP2, accre- 

 " scinta di y e r ~ la ~ ic, y'=Arm {a, e, y), d = Ann{y, y', b) „ fa si che b sia l'ar- 

 monico dopo y, y' e d (P17, 10, 12, 13, 16 § 4). Ora il supporre d e {abc) vai quanto 

 affermare che la propos." virgolata sia rispetto ad y assurda (PI), e che inoltre d 

 sia un punto di r non coincidente con a o con b (P4): onde il Tr ricade in (^;d)Pl.] 



(*) Cfr. >,H, §§ 8-9 ed «ij, §§ 4-6. 



