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cit., n. 94.] — Cosi rimane assodato un carattere notevolissimo dell'ente " Ann „, 

 che è la facoltà di non alterarsi per proiezioni. 



In ordine al caso, che il punto e coincida con a o con b, giova introdurre la 

 seguente : 



Fi6-Df. " Se a, è sono punti prj e b non coincide con a, V " armonico dopo a, b, a „ 

 " è il punto a, e 1' " armonico dopo a,b,b „ è il punto b. „ 



E per molti rispetti sembra opportuno stabilire fin d'ora che sia questo il solo 

 caso, in cui l'armonico d'un punto e il punto stesso coincidono. Però si accet- 

 terà senz'altro il seguente: 



POSTULATO XIV». 



P17. Essendo a, b punti projettivi distinti, e '^ un punto di ab diverso da a e 

 da b, l'armonico ad a.b,c non coincide con e (" .4rm (a, ?-, e) ~=c „)(*). 

 Il Postul.o XIV" potrebbe voltarsi in quest'altra propos.«, ad esso equivalente 

 in virtù delle P6, 12, 13: 



VI8-T1: " Nella HpP4, i punti [ab . ed), {ac . bd), {ad . bc) non saranno allineati. „ 



Anzi, dato il carattere projettivo del gruppo armonico (P15) non sarebbe difficile 

 assunto il provare che, " se esiston tre punti collineari e distinti a, b', e' tali 

 che YArm{a,b',c') sia diverso da e' — o quattro punti a',b',c',d' come in 

 HpP4, tali che i punti d' incontro (a'b' . c'd'), {a'c . b'd'), {ad' . b'e') non siano 

 allineati — allora dev'esser vera universalmente la P17 (e cosi la P18) ,, : per 

 la qual cosa, in luogo del XIV" principio e a far le veci di questo, potrebbe 

 esser tolta la propos." particolare che nasce, quando alla stessa P17 si sovrap- 

 ponga il predicato " Esistono tre punti a, b, e tali che . . . „ — alla P18 il 

 predicato " Non è assurdo rispetto ad a,b,c,d che... „ (**) — Ne sarà 

 fuor di proposito l'intrattenere su questa osservazione il Lettore, perocché dessa 

 conviene perfettamente anche ai quattro postulati XV-'-XVIIP : ognun dei quali si 

 aggira intorno al segmento projettivo individuato per mezzo di tre punti colli- 

 neari a,b,c\ ma nuli' altro esprime, in fondo, che una proprietà armonica di 

 certe configurazioni speciali di punti e congiungenti (gravando insomma, 

 come ogni altro Postul.", sovra questi enti primitivi, a cui viene imposta 

 per esso una nuova restrizione). Avremmo dunque potuto sostituire a ciascuno 

 di essi un postul.» esistenziale — affermante cioè l'esistenza di almeno 

 tre punti prj collegati da certa relazione armonica. Ma — oltreché si può 

 dubitare, se questo faccia una vera semplificazione nei riguardi deduttivi — si 

 é preferito lasciare in facoltà del Lettore la scelta di quest' altra forma di 

 giudizi, che richiede soltanto l'apposizione della clausola " Esistono r, a, b, e tali 

 che . . . „ dinanzi a ciascuna delle prop.* primitive XIV-XVIII, e un piìi frequente 

 richiamarsi P15. — 



(*) Che questa propos.'' non segua dalle ordinarie premesse circa le categorie proj." [0] ed [1] 

 (e però nemmeno dai postul.' l'-XIII") — fu rilevato opportunam.' dal sig. Fano al loc. oit., pag. 9. 

 (**) Ved. Fano, Loc. cit., pag.' 9-10. 



