22 MAIUO PIERI 



POSTULATO XIII». 



Pll. Essendo r^^,<■ punti projettivi non allineati, esiste almeno un punto proj." 

 che non appartiene ad abc. 



Cioè la figura " [0] ~ abc ,, non è vuota di punti. — Tra i fatti più notevoli 

 che si possono svolgere dai soli principi fondamentali P-XIIl" va segnalato il 

 " teorema dei triangoli omologici ,, — detto anche teorema di Desargdes „ — 

 il quale risulta principalmente dagli ultimi fatti mostrati al § precedente e 

 dagli assiomi XIII" e Vili". Ma sì per 1' enunciato che per la dimostraz.'' di 

 questo Tr si rimanda il Lettore alla classica opera di G. C. v. Staudt (*) : come 

 altresì per la dimostrazione del Tr seguente, la quale appunto è riposta in 

 triangoli omologici {**). 



P12-T/-. " Siano di nuovo «, 5, e come neU'HpPG: allora tutti i punti prj della figura 

 " Arm^^ic necessariamente coincidono. „ 



E dopo ciò s'impone l'uso di un nuovo termine, o segno, per denotar l'indi- 

 viduo della classe unitaria Arm^^^c (Cfr. P3). 



PIS-D/". " Posto che «, b siano punti prj non coincidenti, e un punto di ab diverso da a 

 " e da b, si rappresenta con " Armonico ad a,b,c (o - dopo a,b,c) , — scri- 

 " vendo '■ Arm{a,b,c) „ — l'individuo della classe Artna,hC, costituita in più 

 " punti coincidenti fra loro (P12). „ — Si pone insomma Arm{a, è, e) = I Arm^^iC; 

 vale a dire Amiate = i Arm{a, b, e). 



Plé-Tr. " Dati ancora i punti a, b, e come in HpP6, e supposto che «', v' sian punti 

 " prj distinti e non appartenenti ad ab, ma allineati con e, saranno sempre 

 ■• collineari anche i punti (««' . bv'), {av' . bu'), Arm{a, b, e). „ [Dalle P6, 8, 12, 13.] 



PIB-Tr. " Siano r, r' due rette prj non coincidenti, e l'una sopporti i punti distinti 

 " a,b,c e inoltre un punto d; l'altra i punti a',b',c', due a due parimente 

 " distinti, e un quarto punto d' : allora — ove esista un punto p allineato ad 

 " un tempo coi punti a e a', b e b', ce e', d e d' — le proposiz.' " d è l'armo- 

 " nico dopo a, b, e „ e " d' e l'armonico dopo a', b', e' „ saranno ambedue insus- 

 " sistenti o ambedue vere. „ [Si dimostra in fatti che p non può giacere in r o 

 in »•', e che la retta r' è tutta nel piano pr. Di poi, preso un punto u fuor del 

 piano pr (Pll), e sulla retta ^^c un punto v diverso da, p e da e (P13§1); 

 indi trovati i punti {au . bv), {av . bu) ; questi verranno allineati su d, se d = 

 Arm{a, b, e) (PU). Ma allora — detto v' il punto comune alle rette cu e pv gia- 

 centi nel piano cpu — si riscontra che i punti {a'u . b'v'), {au . bv) e p collineano, 

 e così i punti {a'v' . b'u), {av . bu), p: sicché l'iusciranno collineari anche i punti 

 {a'u. b'v'), {a'v' .b'u) e d' ; cioè sarà d' = Arm{a', b', e). — Ved. Staudt, op. 



(*) G. d. L., un. 87 e 90. — Cfr. Peano, Calcolo ijeometriro etc. (Torino, Bocca ed., 1888) pag. 92. 

 (**) G. d. L., n. 93. 



