I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 21 



" da « e da b. „ [Suppongasi, oltre \'Hp, che " u, v€[0]-a6, v-^ = u, (c,u,v)Cl „: 

 se ne deduce (rispetto ad u,v) che v €uc, {a, b,u)^ CI, veuab (Pi>%2,P6 ^3); che 

 {a, e, u) ^Cle [b, e, u)--Cl (P18, 19 § 1, Po § 2) e p. e. che (a, u, v)^Cl, (6, u, f)~ CI, 

 V ~ € au, v^ebu (P12, 8 § 2): dunque — in virtù di C'KS)P4, 5, PIO § 1 e P13 § 3, 

 e posto a' e b' a significare i punti {au . bv), {av . bu) — se ne trae che le rette 

 ab e a'b' si tagliano in un punto diverso da a e da i; e che quindi ogni punto x 

 della ab, per cui {a, b', x)Cl (punto che — date le P3, (^:%S)P4, 5, P5 § 2 — non 

 potrà esser diverso dal punto {ab . a'b')) sarà distinto da a e da b. Pertanto 

 dall'-Hp e dalla propos." condizionale in x " Esiston due punti prj m, v l'un l'altro 

 distinti e non appartenenti ad ab, ma allineati con e; ed j; è un ab tale chea;, 

 {au . bv), {av . bu) collineano „ si deduce (qualunque sia xj che x^ab-^\a~\b: onàe 

 il Tr seguirà da P6 — viste le P4 § 2, (J,")P13 § 1, ecc., comprovanti che la 

 propos. anzidetta non è, per Hp, assurda rispetto ad «, v.'\ (*). 



P8-T>-. " Nella stessa HpP6, la classe Arm,^t,c non è nulla. „ [Si proceda come 

 dianzi fino a concludere — in forza del richiamo ad (a',";";d)P4, 5 — che le 

 rette au e bv, come pure le av e bu, si tagliano in punti a' e b' distinti fra 

 loro e tali, che anche le rette ab e a'b' s'incontrano. Ora la propos. condiz.'= in 

 u, v, che regge (in parte) siffatta conclusione, è conseguenza dell'i^; e della 

 propos." condiz.'' " ui\0'\^ab,ve.cu ~\c~\u „ (si guardi alle P12, 18, 25 § 1 e 

 P5 § 2) non assurda rispetto ad m, v, grazie ai postul.^ XI" e VIII°. Sarà dunque 

 affermata con \'Hp anche la propos. categorica " esistono punti prj u, v, x tali, 

 che M, V6[0]~a&, v — ^u, {c,u,v)Cl, xeab „: e questa è appunto la Th, in 

 virtìi di P6.] 



P9-rr. " DairHpP6 si deduce altresì che le figure Arnia,i,c e Armt,aC coincidono. „ 

 [Si confronti P6 con (;;;?)P6, presente PIO § 1.] 



PlO-Tr. " Ferma stante l'HpPS, se ic è armonico di e rispetto ad a e b, viceversa e 

 " sarà un armonico d'.r rispetto ad a e è. „ [Se accanto alVHp pongasi l'altra 

 propos." " u, » € [0] ~ aè, » ^ = ii, (e, u, v)Cl, x e ab, {{au . bv), {av . bu), x)Cl „ se ne 

 dedurrà facilmente (per considerazioni simili a quelle svolte in P7, 8) la propos." 

 " e e ab, a',b'e [0]-aZi, J' ~ = a', {x, a', b')Cl, {{aa' . bb'), {ab', a'b), c)Cl „ — dove 

 a', b' denotano ancora i punti {au . bv), {av . bu). Ora, se a; e Arm„_i,c, non sarà 

 assurda risp." ad u, v la prima di dette propos.' condizion.'' in u, v, x (P6) e però 

 neanche la seconda: ma questo — attenzion fatta a P7 e a (J;2;J')P6 — vai quanto 

 dire che e e Arm„ix.^ 



Qui, per procedere nel miglior modo ad altre e più notevoli propos.' sui gruppi 

 armonici, par conveniente accettare una nuova propos." primitiva: che, di fronte 

 al nostro sistema deduttivo, sembra avere un'importanza maggiore di quella 

 inerente agli altri postulati esistenziali. 



(*) Qui è da segnalar l'intervento d'ambedue i postulati esistenziali Vili" e XP. 



