20 MARIO PIERI 



" ad alcuna delle ab, ac, he, non potrà darsi che due delle sei rette ah, ac, bc, 

 " ad, bel, ed coincidano. „ 



F3-Df. " Diremo che due rette prj " si tagliano ,,. ogni qualvolta esse abbiano un 

 " punto a comune senza coincidere. Inoltre — essendo a e b, e e d coppie di 

 " punti prj distinti, e supposto che le ah e ed s'incontrino senza coincidere — 

 " con la scrittura " {ab . ed) ., , che si può leggere "punto d'intersezione di ab 

 " con ed ,, , si rappresenta l'individuo della classe formata dai punti comuni 

 " alle rette ab e ed; punti che — data la P25 § 1 — son tutti eguali fra loro. „ — 

 Insomma il prodotto logico delle due classi ab e ed si pone eguale alla classe 

 " i{ab.cd) „ Ved. P4, 5 § 1. 



P4:-Tr. " Siano a, h, e punti prj non allineati, e d nn punto del piano abe non appar- 

 " tenente ad alcuna delle ab,ac,be: allora le rette ab e ed — come pure le ae 

 " e bd, e le ad e he — si taglieranno; ma nessuno dei punti d'intersezione 

 " {ab . ed), {ac . bd), (ad . bc) potrà coincider con uno dei punti a, b, c,d.„ \ Infatti 

 a quelle condizioni nessuno dei punti e, d giacerà nella ab (P8 §2); sicché {ab . ed) 

 non potrà esser coincidente con e o con d: ved. {li)P12, 8 § 1 e P3 § 1. E nem- 

 meno può darsi (P2) che ed = ea e ed = eb; come sarebbe richiesto dall'essere 

 {ab . ed) coincidente con a o con b (P18 § 1). Che poi le rette ab e ed si taglino, 

 emerge dall'iZp e dalle PI 3 § 3, ('4;J)P8 § 3, P3, 2.] 



Pò-Tr. " NeirHpP4 — detti rispettiv.<= a',b',c', i punti d'intersezione {he . ad), {ac . bd), 

 " (ab . ed) — questi saranno tutti e tre distinti fra loro, e le due congiungenti 

 " ab e a'b', come pure le ac e a'e', bc e b'c', si taglieranno in un punto diverso 

 " da ognuno degli a, b, e, d. ,, [DaH'ifp nasce: 1) che aa' ■- = ac, ae — ai'(P18 § 1, 

 P4, 1) e p. e. che è'~ = ff'(P21 § 1); 2) che supposto ab-=a'b', ne verrebbe di 

 conseguenza a' e ab e quindi ab=^aa', contrariamente a PI; 3) che dunque le 

 rette ab e ab' si tagliano (P3, P20, 21 § 3) ; 4) che , ove fosse {ab . a'b') coinci- 

 dente con a, bisognerebbe concedere ai.a'b' , quindi anche nta' = aè'(P4, P24, 

 12 § 1) ed aa' =^ ac, cioè negar la PI: 5) che c,d^eab, sicché non può darsi 

 nemmeno che (ah . a'b') coincida con e o con d. — E da tutto ciò anche il resto, 

 mediante sostituzioni di lettere.] 



Dette propos.' 1-5 saranno da preporre a uno studio del quadrangolo piano 

 completo (o rete del Mobius) e delle forme armoniche. La nozione di "Armo- 

 nico „ si può introdurre con la Df seguente — che è l'ordinaria, spogliata di 

 qualche superfluo. 



P6-D/". " Se a, h siano punti prj distinti, e e un punto prj diverso da entrambi, ma 

 " appartenente ad ab, chiameremo " Armonico di e rispetto ad a e h „ — 

 " oppure " Arm^^ie „ — ogni punto di ab, che sia radice della seguente con- 

 " dizione in x: " Esistono due punti prj distinti u e v non appartenenti ad ab, ma 

 " allineati con e, e i punti d'intersezione {au . bv), {av . bu) sono allineati con x „. „ 

 — Qui l'ente Jrm„i,c si presenta come una classe o figura di ab; né può ritrarsi 

 dai soli postul.' P-XII° che tutti i punti di questa classe coincidano. 



Vl-Tr. " Sotto la stessa HpP6, ciascuno degli Arm^^ic sarà un punto di ab distinto 



