I PRINCIPI! DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 19 



(PI, 6), e concessi i postul.' I°-XI» — risulta deduttivamente eguale al postu- 

 lato XII" (e atto pertanto a far le veci di questo anche di fronte ai successivi 



XIIP, XIV", ) è per es. il giudizio espresso dalla PIO; dove per altro si 



aggiunga all'Hp la restrizione che V sia distinto da « e da e (per non, aifei-- 

 mare un superfluo): e può dirsi che. in ragione del contenuto deduttivo, esso 

 stia di fronte alla P20, come il postulato XII° alla P21 (*). 



§ 4». 

 Il quadrangolo piano e la relazione armonica (**). 



Pl-Tr. " Se a,h,c son punti prj non collineari, ed inoltre a' è un he diverso da h 

 " e da e, e è' è un ac diverso da a e da e, nessuna delle rette aa' 'e hV potrà 

 " coincider con una delle ah,ac,bc, ne le au,bh' potranno coincider fra loro; 

 " anzi queste s'incontreranno in un punto, che non giacerà sopra alcuna delle 

 " ab,ac,bc. „ [Che aa'^ = bc e bb' ~ = ac consegue dall'-Hp e dalle Pll § 1 e 

 P8 § 2. E dall'Hp e dalla P12 § 2 si deduce — attraverso le sostituzioni (j'), 

 C'Xd'). (»,?x;°'). &) -~ clie non saranno allineati ne i punti «, h, b' , ne i punti b, a, a', 

 né e, a, a', ne e, b, b' ; e p. e. (P5 § 2, PIO § 1) che bh' ^ = ab, aa' - = ab, aa'^~ac, 

 bb' ^ = he. Ma, dal supporre hb' = aa', ne verrebbe che heaa', e quindi aa' = ab; 

 viste le Pll § 1, P7 § 2, (?;'')P18 § 1. Ora, dal momento che bb'-^ = aa', due punti 

 comuni a queste rette e distinti fra loro non potranno mai darsi, vietandolo 

 P25 § 1 : laddove un punto comune alle medesime esiste, grazie a P9 § 3 ; anzi 

 un punto diverso da b (dacché aa' ~ = ab), che non può quindi cadere in ab, 

 né in he (poiché bb'^=^ab, e bh' ^ = bc) e p. e. nemmeno in ae (atteso che la 

 sostituzione (ì'$\^^:-%) non altera VHp).] — Ne risulta ad es. l'esistenza di almeno 

 sette punti prj (l'un l'altro distinti) su ciascun piano prj. — Con argomentazioni 

 in tutto simili a queste si prova la verità del Tr seguente. 



P2-Tr. " Essendo a, h, e punti prj non collineari, e d un punto prj non appartenente 



(*) In G. Fano (loo. oit., pag. 4-5) dopo alcune sommarie premesse, da cui si potrebber cavare 

 le nostre l'-XI" (fatta eccezione per l'VIII", di cui non s'è l'atto per altro alcun uso deduttivo), e a 

 quei medesimi uffici per cui basta la XII", vengono assunte per postulati tutte e due le (nostre) 

 P20 e P21 : e l'esempio ivi recato a provar l'indipendenza di queste non è concludente, ne appar 

 giustificata l'asserzione, che il giudizio contenuto in PIO non sia sufficiente a stabilire la verità 

 di P20. — - 11 sig. F. Amodeo (Loc. cit.; e Sulla introduzioiia alla Geom.'^ proj.'', § 5, nel " Giornale 

 di Matematicbe ,, v. 34) ijropone agli stessi fini la (nostra) P18, oppur l'altra. " due rette ab, ac 

 con un (sol) punto comune a (sendo a, b, e punti non collineari) individuano un piano ed uno solo ,: 

 tutte e due proposiz.' di una portata eccedente il bisogno. — Il prof. G. Veronese (Op. cit.) non 

 introduce propriamente alcun " postulato del piano ,; ne mi è possibil notare da quali altri prin- 

 cipi projettivi Egli riesca a dedurre, nella sua trattazione, le nostre P19, 20, 21. — Una pre- 

 messa, che differisce soltanto in apparenza dal Post. XII", è quella inserita da R. De Paolis nella 

 definizione, onde ha principio la Memoria su Le corrispondenze projettive nelle forme geom." fondant.' 

 di 2» specie (' Mem. d. Accad. d. Se. di Torino ,, XLIIj, 1892): dove si afterma in sostanza che 

 " ogni retta, la quale inconti'i le due congiungenti ab e bc senza contenere alcuno dei punti (non 

 collineari) a, h, e, deve tagliare eziandio l'altra congiungente ca „. 

 (*) Cfr. m,, §§ 11, 14. 



