]8 MARIO PIERI 



non collineano, è forza concludere «ic = «rie (PI 8), vale a dire aie = dea {Vl?i) ; 

 quindi fedea e p. e. dea = def, in grazia a fó:";0P17: sicché resta provata la 

 eguaglianza abc = def. E di qui mediante le sostituzioni (i;^) , (5,^) nasce altresì 

 che VHp, combinata con l'una o con l'altra delle due supposizioni (d,f,a)-Cl 

 ed (e,f,a)~Cl, richiede abc = dfe, o abc = fed: vale a dire abc = def in ogni 

 caso.] — La P19 si enuncia per solito in questa forma non altrettanto perspicua: 

 " un piano prj è individuato da tre qualunque de' suoi punti non collineari „. 



P20-Tr. " Ammesso che a, b, e sian punti prj non collineari, e che d, e siano punti 

 " prj distinti l'un l'altro e appartenenti al piano aie , ne viene che la congiun- 

 " gente di questi, ossia la retta de, giacerà nel piano abc. „ [Si unisca aH'Ji/j 

 quest'altra supposizione: {a,b,d)-^Cl. Ne seguirà che aèc = «èc^ (PI 7), quindi 

 che eeadb iPld); per la qual cosa — e a motivo di (t';J)P12 — la retta de sarà 

 tutta contenuta dal piano adb: che è quanto affermare la Tli. A questo 

 modo l'Hp, insieme con l'una o con l'altra delle due supposizioni [a, '■, d)-^ CI, 

 (b, e, d)-^Cl, porterà similmente a concludere che la retta de giace nel piano acb, 

 oppur nel piano eba: tali essendo gli effetti delle due sostituzioni (?;e)i(»°) su 

 quel risultato parziale. Dunque la Th è vera, subordinatamente all' Hp, se (a, b, d), 

 (a,c,d), {b,e,d) non collineano: e però sussiste il Tr in virtù di P14§2.| 



P21-Tr. " Se — essendo sempre a, b, e punti prj non collineari — sian dati nel piano 

 " prj abc quattro punti d, e, f, f/ per modo, che ne e coincida con d, ne g con f, 

 " dovrà esistere almeno un punto prj comune alle due congiungenti de,fg. „ 

 [Ove si ammetta, oltre VHp, che il punto f non appartenga alla retta de, allora 

 per mezzo delle fó:{)P5 § 2 e P19 si dedurrà che i punti d, e,f non collineano, e 

 che quindi i piani abc, def coincidono. Per tanto g appartiene ad fde{PVò): che 

 è quanto affermare la Th, in forza di (ij;c;S)P8. — Se al contrario fede, sarà/" 

 un punto comune alle de,fff; però che fefg, com'è detto in (Ì;?)P11 § 1.] 



Come ognun vede, le ultime tre propos.', sulle quali è (per cos'i dire) imper- 

 niata tanta parte di Geometria Projettiva, si posson derivare da premesse abba- 

 stanza semplici, come le nostre proposiz.' primitive I-XII: delle quali soltanto le 

 ultime due guardano oltre i confini della geometria sulla retta. Il postul. XU» è 

 veramente un giudizio non molto dissimile a quello espresso dalla P21 : poi che 

 sì l'un come l'altro versano intorno all'incontrarsi di rette proj.-^: ma la 

 capacità deduttiva del primo è senza paragone inferiore a quella dell'altro. 



Agli scopi deduttivi, per cui fu adoperato sinora, il detto principio XII" po- 

 trebbe anch'esser sostituito da quest'altro (che lo contiene, senz'essergli però 

 equivalente): - Dati tre punti prj non collineari a,b,c, ogni punto prj appar- 

 tiene alla congiungente di a con bc „ — cioè " non esistono punti fuorché in 

 im certo piano prj „ — in forza del quale la classe dei punti verrebbe a 

 coincider col piano abc ([0] = abc). Se non che, lungi dal restringere in sì fatto 

 modo il campo geometrico, noi affermeremo anzi la propos.® contraria mediante 

 il postul." XIII", cui darem luogo più tardi; lasciando frattanto impregiudicata 

 la quistione dell' esistenza di punti prj distinti da quelli che esistono a norma 

 dei postuli II", III», VIE", XI». 



Un principio che — data la Df di visuale d'una retta prj da un punto 



