I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 17 



le seguenti eguaglianze: abc = acb, bac = bea, cab = cba, abc = bac, acb = cab; e 

 p. e. la jTA.] 



P14-Z)/'. " La locuzione " n è un piano projettivo „ — significata non di rado in 

 " " TTe[2] , — vuol dire soltanto: " esistono tre punti prj non collineari x, y, z, e 

 " la figura xyz è per chiamarsi tt „. „ Ovvero " dicesi piano projettivo, e si rap- 

 presenta col segno " [2] .,. la classe di tutte le figure, ciascuna delle quali è 

 visuale d'una retta projettiva da un punto prj non situato in questa „. 



Nel resto del corrente § si dimostrano le prime proprietà comunemente attri- 

 buite al piano in Geometria Projettiva. 



P15-r>-. " Dal fatto che a, b, e siano punti prj non allineati e d un punto della 

 " retta bc diverso da è, si deduce che i piani prj abc e abd coincidono. ,, [Così 

 da PI; se si pon mente alle P7 § 2, (Jfi;f)P18 § 1, per cui bc = bd.] . 



¥1&-Tr. " Semprechè a, b, e siano punti prj non allineati e d sia un punto della 

 " retta bc , bisognerà che il piano prj abc coincida col piano abd o col piano acd. „ 

 {DaXÌ'Hp. in vista della P12 § 2, si deduce o che («, è, d)-Cl, o che (a, e, d)-^Cl: 

 ma nell'un caso i punti b e d, nell'altro i punti e e d, son distinti (P7§2); 

 per la qual cosa — potendosi far luogo a P15, o rispettiv.<= a (t;5)P15 — ne verrà 

 nell'un caso abc = abd, nell'altro acb = acd : che è in somma la Th, dal momento 

 che (P13) le figure acb e abc si confondono.] 



P17-2V. " Dall'essere a, b, e punti prj non collineari e d un punto del piano abc si 

 " conclude — purché i punti a, b, d non collineino — che i piani abc e abd 

 " coincideranno. „ [Subordinatam." aWHp abbiamo che 1) i punti b e e, come 

 pure a e d, non coincidono (P7§2); 2) da y € bc -^ i b si deduce abc = aby, giusta 

 la ©P15; 3) da ytad~\a si deduce ad = ay, e poi successivamente b-^eay, 

 (a, y, b)-Cl, bad = bay, abd = aby — per via delle (^;nP18 § 1. G')P8 § 2, (?;°)P5 § 2, 

 (a',6;c;2)Pl-5 e P13; 4) da y&bcnad si deduce y-^=a,y-= b (P9 § 2), e però anche 

 abc = aby e abd =: aby, cioè si deduce la Th; 5) da yebc e deay si deduce 

 yebcnad — giusta P9 § 2 e G;?)P14 § 1 — e p. e. la Th. Ma per Hp esiste 

 sempre un punto y tale che yebc e deay (si guardi a (J)P6): dunque subordina- 

 tamente a.lVHp è sempre vera la Th.^ 



P18-Tr. " Se a, b, e son punti prj non collineari e d, e punti del piano abc, tali invero 

 " che i punti a, d, e non collineano, è forza che il piano abc coincida col piano 

 " ade. „ [Richiede l'Hp, in virtù di {t;l[l)'P12 § 2, che non siano allineati i punti 

 «, d, b, che non siano i punti a, e, b. Ma nell'un caso si ottiene, da P17, abc^abd; 

 quindi {PVòjabc ^=^ aclb, eeaclb; poi, di nuovo a traverso {tf,;l)Fn , adb = ade: 

 dunque abc = ade. L'altro caso è simile al primo; anzi può ricondursi a questo 

 mediante lo scambio dei punti d ed e, che non altera VHp e ne dà subito 

 abc = aed; ecc.] 



PIG-Tr. " Di nuovo essendo a, b, e punti prj non collineari, se avvien che tre punti 

 " d,e,f, pur essi non allineati, appartengano al piano prj abc, allora coincide- 

 " ranno i piani prj abc, clef. „ [Per mezzo di (;5;?;^-,;)P14 § 2 YIlp impone il tri- 

 lemma: [d,e,a)~Cl, {d,f,a)'^Cl, od [e,f,a)-^Cl. Ma se, p. e., i punti d,e,a 



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