16 MARIO PIERI 



precede si potrebbe anche ascrivere alla Geometria elementare. Non così tutte le 

 proposiz.' che vengono appresso: dacché il postulato seguente attribuisce fin d'ora 

 agli enti primitivi " punto prj , e " congiungente due punti prj „ un carattere, 

 che non conviene al punto e alla retta d'Euclide o di Lobatschewski. 



POSTULATO XII». 



P9. Se «, b, e son punti projettivi non allineati, ed inoltre «' è un bc diverso 

 da è e da e, e b' un ac diverso da « e da e; allora le congiungenti a 

 con rt' e b con b' s'incontrano (cioè la classe " aa' n bb' „ non è illusoria). 

 Ne cessano però d'incontrarsi le rette prj aa' e bb', se a' cada in uno dei punti 

 b,c; b' in uno dei punti a, e: ma quelle restrizioni imposte ad a' e b' ben si 

 addicono ad una proposizione primitiva; la quale invero senz'esse affermerebbe 

 alcun che di superfluo. Così cerchiamo di evitare al possibile che da un postu- 

 lato si deducano fatti già contenuti in altre premesse. 



VlO-Tr. " Se a, b, e son punti prj non collineari, e è' è un punto di ac, la retta 

 " congiungente b con b' giacerà tutta nella figura congiungente a con bc. „ [Se, 

 nell'IP, V coincide con a o con e, segue il Tr dalla P7, visto anche le P21, 10 § 1. 

 Se all'incontro b' è distinto sì da a che da e, YHp — grazie a (|;')P15, 18 § 1 

 e P8 § 2 — coinvolgerà le relazioni ceaè' — i«~iè', ab' = ac, b^eab', e p. e. anche 

 il fatto — giusta la (i;')P5 § 2 — che (a,b,b')^Cl: sicché allora, denotando d 

 un punto qualsiasi della bb' (per altro non coincidente con b o con b') si deduce, 

 in virtù di (c,'a',ò')^9, l'esistenza d'un punto comune alle rette ad e be; onde (PS) 

 si viene a concludere che deabc. — Ma, quand' anche d coincidesse con b o 

 con b', non sarebbe men vero che deabc come vuole la Tir. ved. P7, e P3 § 1.] 



Pll-T)-. " Se a,b,c son punti prj non allineati, le figure abc e bac coincidono. , 

 [Dall' Hp e dalla propos.'^^ condizionale " i/ebc „ si deduce qualunque sia y — per 

 mezzo di P9 § 2, (^;;;?.)P10 — che i/ è un punto prj distinto dal punto a, ed aij 

 giace nella congiungente bac: dunque (P6) ogni punto della visuale abc — vale 

 a dire ogni x, per cui non è assurda rispetto ad ij la propos.'' " ijebc, x^ai/ „ 

 — sarà un punto della figura bac. Ma, come dall'i//? nasce, che la visuale a èc 

 è tutta quanta nella visuale bac, nascerà similmente che questa è contenuta in 

 quella: perchè la sostituzione (^',S) non altera l'3p.] 



F12-Tr. " Se, essendo sempre a, b, e punti non allineati, d sia un punto della figura 

 " abc diverso da b, la retta bd sarà contenuta in questa visuale. , [Dall' Ep 

 emerge anzitutto che abc ■= bac e dibac~\b, grazie a Pll : sicché le rette ac 

 e bd s'incontreranno a motivo della (S'")P8 ; e però d'ogni punto x appartenente 

 a bd ma diverso da b si potrà dire egualmente, che ac e bx s'incontrano, vale 

 a dire che xibac come vuole la Th: stante che bd = bx in virtù di (°'>:c)P18 § 1, 

 e può invocarsi del pari la (tt;fc;5)P8. — Che inoltre heabc nasce subito dalla P7.] 



PlS-Tr. " Nell'HpPll tutte le visuali abc, acb, bac, bea, cab, cba coincidono in una sola 

 " e medesima figura, detta anche " piano projettivo abc „. „ [Basta invocar 

 tre volte P4 e due volte Pll — atteso anche a P7 § 2 — per isvolger dall'iZp 



