I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 15 



P4-rr. " Se ff, è,2J sono punti prj, ed a,b distinti fra loro, le figure pah e pba 

 " coincidono. „ {DsàVHp e dalla PIO § 1 si desume l'equivalenza delle due propos.' 

 condiz." " ijiab „ e " ijeba ,, e però anche — giusta P8 § 1 e fóp-, (S:pPl — 

 l'equivalenza delle due condizioni "" xepab „ e " xejjba „. — Per questo modo 

 si prova altresì l'eguaglianza, o coincidenza, delle visuali di più forme coinci- 

 denti prese da un medesimo punto, o da punti coincidenti.] 



PB-Tr. " Se a, 6 siano punti prj distinti e p un punto qualsivoglia di ab, la figura 

 " pai coinciderà con aàr^ [Per Hp sarà p distinto dall' uno o dall' altro dei 

 punti a e ?< (P5 § 1). Ora, sep^=a, si deduce invocando ©P18 § 1, che ab = ap: 

 sicché la propos.^ condiz.'" " yeab^ip „ (atteso anche a P8 § 1) risulterà equi- 

 valente all'altra " y(.[0], yeap~\p „; e questa, in forza di (S;é')P23 § 1, all'altra 

 " iji[0]-ip,ap=pi/ „; e questa infine alla " ije[0]-\p,nb = py „. Insomma la 

 condizione (ina;) " xepab „ — che secondo PI equivale all'affermare'qualmente 

 la " y^ab~-\p,xi.py „ non è assurda rispetto ad y — si risolve nella condizione 

 " a; e aè „ , e nella propos.® categorica vera " esiste un punto y diverso da ^ e 

 tale che ab^=py „ (vera dal momento che a^^p. e ab^pa, come vogliono 

 (^)P18§1 e (?)P10§1): per cons.'' sussiste 1' eguaglianza ^ «è = a6. E di qui, 

 per via della sostituzione (S;?) e avuto riguardo alle PIO § 1 e P4, ne viene altresì 

 che la Th è conseguenza dell' Hp e dell'altra supposizione " p-~-=b „.] 



P6- Tr. " Posto che a, b, e sian punti prj non collineari, la congiungente a con bc 

 " — ovver la figura abc — sarà il luogo d'ogni punto x, per cui si verifichi 

 nella retta bc l'esistenza d'un punto y tale, che x appartenga ad ay „. [Grazie 

 a P7. 9 § 2 l'Hp implica che b e e non coincidano, e che ogni punto della retta 

 proj.= bc sia diverso dal punto a: ma con ciò si equivalgono le proposizioni 

 " yi.bc~\a „ ed " y^bc „, e resta sol da invocare la (°;'^)P1.] 



Vl-Tr. " In detta HpP6, la congiungente di a con bc conterrà i punti a,b,c e le loro 

 " congiungenti ab,ac,bc. „ [Che " bc^abc „ consegue dall' JS^' e dalla (pf^^PS; 

 perchè — a motivo delle {ì''bWS, 11§1 e P7§2 — il punto b deve appartenere 

 a bc senza coincider con a. Ora tutti i punti di ab verificano la condizione (in x) 

 " èeèc ed xeab „; dunque anch'essi appartengono alla figura abc, grazie al 

 Tr preced. Ecc.] 



F8-Tr. " Se, data la stessa HpP6, d sia un punto prj non coincidente con a, saranno 

 " equivalenti fra loro le due propos.' " d appartiene alla figura a bc „ , ed " esiste 

 " almeno un punto comune a tutte due le congiungenti ad e bc (le rette ad e bc 

 " s'incontrano) „. „ [Invero dall'-Sp e dalle P7, § 2 s'inferisce che i punti 

 b e e non coincidono, e che ogni appartenente a bc sarà un punto prj distinto 

 da a. Ne viene, atteso la ('^;^)P15§ 1, che le propos.' condizionali (in y) " yi.bc, 

 deay „ ed " yebc,y€ad ., si equivalgono: e da ciò la Th a tener di P6.] 



Dalle molteplici interpetrazioni, di cui son capaci al presente i due segni [0] 

 ed [1], non è esclusa quella di punto Euclideo, retta Euclidea (ne quella di 

 punto e retta Lobatscheivskiani o Rienianniani{*)); diguisachè tutto ciò che 



(*) Riemanniani, s'intende, di 1" specie; quali ad es., nel campo euclidèo, le rette illimitate con- 

 correnti in un punto e i loro fasci. 



