1 Pr;INCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIi iNF, FCC. 13 



mente daìVHp e dalla P9. Ma neppur l'esistenza d'un punto y soddisfacente ad 

 " y^=:a ed i/eabnacnbc „ sarà consentita dall'i/f): però che da questa, in 

 virtù di P7, 5 e di P24§1, si deduce ab-^ = (tc; dove la detta condizione im- 

 porterebbe, a tener di (?)-,Ci;?)P18 § 1, le eguaglianze ab = ay,ac = ay e p. e. 

 ab = ac. Ora la somma logica di quelle due propos.' assurde rispetto ad y è la 

 propos." (assurda) ij eab n ac n bc^ 



P11-2V. " Tre punti prj a, b, e saranno al certo collineari, ove esista un punto prj d 

 " allineato tanto con a e b, quanto con « e e, ma non coincidente con a. „ 

 [Dall'ara mettere insieme che «, è, ce[0], che cle[0]-ia, che (a,b,d)Cl e simil- 

 mente (a, e, d)Cl, si deduce qualunque sia d — per le (t)Pll § 1 e [f^^i^^V?, — 

 chea, è, ce ac^, e p. e. che (a,b,c)Cl in forza di {°:')P1.] — Comecché diversa 

 in aspetto, la proposizione che segue è deduttivamente uguale a Pll. 



P12-Tr. " Dall'essere «, b, e punti prj non allineati e d un punto prj distinto da a 

 " si deduce o che a, b, d non collineano, o che a, e, d non collineano. „ 



P13- Tr. ' Se a, b, e, d son punti prj tali, che a. b, d — come pure a,c,d e è, e, d — 

 " collineano, saranno allineati anche i punti a, b, e. , Cioè ' se in quattro punti 

 " prj si contano tre allineamenti, ce ne dev'essere un quarto „. [Se rf = a, YHp 

 contiene esplicitamente la Th in virtù di PI e dei soliti attributi dell'eguaglianza 

 fra punti. Se all'incontro d-^=a. si ricade in Pll.] 



Plé-Tr. " Se, essendo a, b, e punti prj non collineari, d sia un punto prj arbitrario. 

 " allora o non saranno allineati a,b,d — o non saranno a, e, d — o non saranno 

 « b,c,d. „ [•• P14„ = ^P13„.] 



Dati i punti prj distinti a e b, l'ente " «è , , o " congiungente a con 6 ,, è una 

 figura determinata ed unica; ma, ove si astragga da que' punti speciali, si per- 

 viene alla nozione generica di " congiungente due punti distinti „ ; di un ente 

 cioè, che si può concepire in senso collettivo quale insieme di tutte le congiun- 

 genti possibili. A questo si dà il nome di " retta projettiva „. 



F15-Df. " Col nome di " retta projettiva „ — o col segno " [1] „ — si rappre- 

 ' senta la classe o varietà di tutte le figure, per ognuna delle quali si posson 

 " trovare due punti prj distinti, dei quali essa sia la congiungente. „ — In 

 altri termini il dire che " r è una retta projettiva „ vai quanto affermare che 

 " esistono due punti prj non coincidenti x,y; ed r è, sotto altro nome, la con- 

 giungente xy di questi „. 



L'ente " [1] „ cos'i definito non è propriamente una classe di punti prj, bensì 

 una " classe di classi di punti „; il che dona un significato preciso alla propos." 

 composta " re[l],a;er ,. E questa " classe di figure „ non è per certo illusoria. 

 Che esistano rette projettive si ritrae senza più da P15, presenti le P7 § 1 e P4: 

 ma dai postulati ammessi fin qui si potrebbe inferir l'esistenza di almeno sei 

 punti distinti e sei rette distinte. — In grazia della Df predetta si potrebbero 

 alquanto semplificar gli enunciati di alcune fi-a le propos.' antecedenti. Così p. e. 

 al posto delle PI, 4 subentrano ora immediatamente quest'altre due: 



