12 MARIO PIERI 



congiungente passi per tutti e tre , — Si tratta qui d'una convenzione formale 

 (come son tutte le definizioni del nome), per cui si riesce ad una maggior 

 facilità di concepire e parlare : di un'abbreviatura ne' segni, rispondente ad una 

 condensazione d'idee. 



P2-Tr. " Dato che a, h siano punti prj non coincidenti, e che e sia un punto di ah, 

 " ne risulta che i punti a, h, e collineano. „ [L'iiyj concede in esplicito l'esistenza 

 dei punti distinti a e è, pei quali — in virtù di P12 § 1 — sussiste la relazione 

 a,b,ci.ab: dunque essa involge la Th, per via di (i;*)?!.] 



PS-Tr. " Se a, b, e son punti prj collineari, e b non coincide con a, forza è che e 

 " appartenga ad ai. „ [Dall'ammettere (oltre \'Hp) chea;, y sian punti prj distinti, 

 e che a,b,c€xij, si deduce, allegando (J;X',°;Ì)P25§1, che xij^ab. e p. e. la Th. 

 Ma l'esistenza di cosi fatti punti x, ij viene ammessa con ì'Hp in virtìi di PI : 

 dunque la Th- è conseguenza dell'^Hp.] 



L'esistenza di almeno tre punti non allineati si potrebbe negare al presente, 

 poiché non segue dai principi accolti fin qui. Ad essa provvede il seguente prin- 

 cipio; il quale per altro non verrà usato a scopi deduttivi prima del § 4. 



POSTULATO XI°. 



P4. Posto che a, b siano punti proj attivi distinti, dovrà esistere almeno un 

 punto projettivo non appartenente ad ab. 



P5-Tr. " Sotto l'ipotesi " a, b, e sono punti prj e b non coincide con a „ saranno 

 " equivalenti fra loro le proposiz.' " a, b, e collineano „ e " e appartiene ad ab „ 

 " — e però equivalenti eziandio le negazioni di queste. „ [È il prodotto logico 

 delle P2, 3.] 



P6-Tr. " Tre punti prj a,b,c son per certo allineati, se due di essi coincidono. „ 

 [Poniamo, ad es., che e coincida con a. Allora, se b^=^a, basta invocar la P2; 

 dal momento che aeab e p. e. anche ceab [Hp e PU, 5 § 1). Se all'incontro è = a, 

 esisterà nondimeno un punto x diverso da a (P6 § 1) : cosicché, potendo all' Hp 

 congiunger la propos." " xe[0]~i« ,, ne verrà similmente " a,b,ci.ax ,, e con 

 questo la Th in virtù di (S;J)P1. — Le altre parti del Tr si traggon di qui con 

 le sostituzioni (11;?), (t'j); perchè la relazione d'allineamento é simmetrica (PI).] 



F7-Tr. " Se a, b, e son punti prj non collineari, non potrà darsi che due di essi coin- 

 " cidano. „ [Giudizio equivalente a P6, per un notissimo principio di Logica.] 



P8-Tt: " Né che uno di essi appartenga alla congiungente degli altri. „ [Questo 

 rienti'a in P5, grazie alla precedente P7 ed alle Pio, 16 § 1.] 



P9-Tr. " Inoltre ogni ab sarà distinto da e, come ogni ac distinto da b, e ogni bc 

 '• distinto da a. „ [Conseguenza di P8 e di P-i, 2, 8 § 1.] 



PlO-Tr. " Sotto la stessa HpP7, non esiste un punto comune alle tre congiungenti 

 " ab, ac, bc. „ [L'assurdità della propos."^ condizionale composta " y = a edìjebc „ 

 — e quindi, a fortiori, dell'altra " y = a, yeabnacnbc ,, — segue immediata- 



