I PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. 11 



P22-Tr. " Posto che a,b,c siano punti prj, ed a non coincida con òo con e; delle 

 " due affermazioni " e appartiene ad ab „ e " le figure ab ed ac coincidono , 

 " ciascuna sarà conseguenza dell'altra. „ 



P2S-Tì: " Se a, b, e siano punti prj, b diverso da a, e e diverso da b, saranno equi- 

 " valenti fra loro le due propos.' " ci.ab , e " ab^bc. ^ „ 



P24:-Tr. " Dal supporre che a,b,c siano punti prj l'uu l'altro distinti, si deduce 

 " l'equivalenza dei giudizi '' ceab „ , " ac ^ bc „. ., 



A chiuder questo capitolo verrà una propos." fondamentale nota per solito in 

 una delle forme seguenti: " La congiungente due punti distinti è individuata 

 da una coppia qualunque de' suoi punti, purché non coincidenti 9 — " due con- 

 giungenti, le quali abbian due punti a comune, coincidono „ — " per due punti 

 non passa piìi d'una retta „ — ecc. 



PSB-Tr. " Dato che a,b siano punti prj non coincidenti, e che e, d sian punti prj 

 " appartenenti ad ab, ma diversi fra loro, è forza che le congiungenti ab e ed 

 " coincidano. „ [Dall'jEZ^J e dagli attributi dell'eguaglianza (Pój risulta che e non 

 può coincider con « e con b ad un tempo: ora se e è distinto da «, ne verrà 

 dalla P18 che ab=:ac e, p. e, che deac; e di qui, conforme a (ì;o)P19, anche 

 ac^ ed e finalmente ab = ed. Se all'incontro e è distinto da b, la P19 fa essere 

 aè = bc,debc: d'onde la stessa P19, piuttosto (a',6;c)P19, fa uscire bc = cd, e 

 p. e. anche ab = crf.] — Questa proposizione — ammessa qual postulato in recenti 

 lavori (*) — emei-ge da relazioni di lei alquanto più semplici : atteso che, p. es., 

 il Postulato IX" (da cui principalmente deriva) esprime bensì un giudizio dello 

 stesso genere di P2.5, ma sopra un minor numero di punti. 



§ 2°. 

 La relazione d'allineamento e la retta projettiva. 



Pl-Df. " Essendo a, b, e punti prj, con una qualunque delle forme verbali " a, b, e 

 " collineano „ , " son eollineari „, o " sono allineati „ si vuol significare 

 " il fatto, giudizio, espresso nei termini seguenti: " esistono due punti prj x, ij, 

 " distinti fra loro e tali, che *, b, e stiano insieme nella congiungente x con y „. 

 " Il medesimo si afferma eziandio con la scrittura " (a,b,c)Cl „. „ 



Resta cosi definita una certa relazione fra tre punti prj, simmetrica 



rispetto ai medesimi, e significata per le parole " sono allineati ,, o " col- 



, lineano , : e quindi anche la relazione contraria, negazione di quella: cosicché, 



in somma dire che " tre punti sono, o non sono, allineati ,, vai quanto affermare 



— o rispettiv." negare — l'esistenza di due punti prj distinti e tali che la lor 



(*) Veronese, Op. cit., pagg. 214, 244. — V. A.modeo , Quali possono essere i postulati etc, § 1 

 (" Atti di Torino ,, v. XXVI, 1891). Ved. ancora m^, §1 in nota; e il " Periodico di Matematica , 

 del Dr. G. Lazzeki, al fase, sett.-ottobre 1897. — Fano, loc. cit., § 1. 



