10 MARIO PIERI 



P15-Tr. " Se a,b,c sono punti prj, b e e sendo ambedue diversi da a, ciascuna 

 " delle due propos.' " ceab „, " beac „ sarà conseguenza dell'altra. „ [Cosi a 

 motivo delle P14 e a'J)P14.] 



P16-T/-. " Essendo a,b, e punti prj, b diverso da a, e e diverso da b, saranno equi- 

 " valenti fra loro le due propos.' " ce.ab „, " aebc „ „ [BaWHp e dalla PIO si 

 ha l'eguaglianza fra le propos.' " c(.ab „, " c(.ba „ : ma la seconda di queste, 

 in virili di (?,;")P15, equivale alla proposizione " aebc „.] 



POSTULATO X». 



P17. Sotto le ipotesi del Postulato IX", la congiungente a con e sarà conte- 

 nuta dalla congiungente a con b. 



PlS-Tr. " Anzi le due congiungenti ab ed ac coincideranno. „ [DaìVHp e dalle P14,8 

 consegue che c€[Oj, e beac: onde, in virtù di {l]l)Pn o P17. ciascuna delle 

 figure ab, ac sarà contenuta nell'altra.] 



P19-rr. " Dall'essere a, b punti prj non coincidenti, e e un punto di ab diverso da b, 

 " si deduce che le congiungenti ab e bc coincidono. „ \I>a\l'Hp nasce (P9) che 

 e appartiene a ba: perciò, invocando (S;°)P18, si deduce ba^bc. Ma dall'-Hp 

 segue altresì (PIO), che ab ^= ba; quindi anche la Th: trattandosi di uguaglianze 

 fra classi, per cui si verifica la proprietà transitiva.] 



Nella dimostr.'^' precedente si è omessa la citazione di P8, (^;?)P8, (';6)P8: e non 

 di rado anche appresso si lasceranno cader dal discorso quelle propos.' ov'è detto 

 soltanto, che certi enti onde si parla siano classi di punti, o figure.v 



F20-Tr. " Dati i punti prj a e b distinti fra loro, se un punto e appartenga ad ab 

 " senza cadere in a ne in b, le figure ac e bc coincideranno. , [Dall' insieme 

 delle P18,19.1 



Il Tr seguente non è da aversi come superfluo, data la nostra definizione 

 dell'eguaglianza fra punti (P4): 



P21-Tr. " Se a, b siano punti prj non coincidenti e c,d punti rispettiv.® uguali ad 

 " a,b, ciascuna delle due congiungenti ab, ed sarà contenuta nell'altra. „ [Dall'Hp 

 in quanto concerne a,b,c, e dalle P8,4,.^ si deduce che ceab e c~^b; quindi 

 ancora, in forza di V19, ab ^ bc. Ma l'ipotesi circa i punti a,b,c non è infir- 

 mata dalla sostituzione {"'t'^) — rientra cioè neìVHp dopo un tal cangiamento, 

 poi che b e e non coincidono. Dunque VHp involge eziandio le relazioni d-~:=c, 

 bc^=cd, e p. e. la Th.] 



Questa P21 afterma in sostanza, che nei punti prj vale il principio di sostitu- 

 zione, rispetto al contenuto di una congiungente arbitraria. E di qui nasce 

 eziandio la facoltà di sostituire punti con punti eguali (nei riguardi di conte- 

 nente a contenuto, e viceversa) anche in figure molto men semplici, ma defi- 

 nite per via di punti e congiungenti: facoltà di cui ci varremo alcuna volta, 

 senza ulteriori ragguagli. 



A motivo delle P12, 16 le P18, 19 e 20 sono parzialmente invertibili: di guisa 

 che sussistono ancora i seguenti: 



