I PRINCIPII DELLA GE0METRL4 DI POSIZIONE, ECC. 9 



P12-r»-. " Essendo a,b come sopra, ciascuno di essi dovrà giacere nella congiun- 



" gente a coni. „ [Dall'Fp e da C;?)P11 si deduce btha: onde, per PIO, 11, la 7V^.] 



Cosi resta provato che la classe ab non è nulla, sotto la stessa HpPll: ma 



giova conceder di più, che questa figura contenga almeno un punto diverso da a 



e da b; vale a dire: 



POSTULATO Vm». 



P13. Essendo a. h punti projettivi e b diverso da a, nella congiungente ab giace 

 almeno un punto projettivo non coincidente con a ne con b. 

 Cioè: la classe " ab^ia^ib , non è nulla. — L'uso dei postulati esistenziali, 

 come il 11°, 111", Vili", è abbastanza ristretto : non occorrendo che raramente di 

 doverli invocare per la dimostrazione d'un teorema. Questo accade, . perchè nelle 

 ipotesi de' nostri teoremi è quasi sempre affermata l'esistenza di tutti gli elementi, 

 che occorrono nelle dimostrazioni. — L'importanza di quelle proposizioni esisten- 

 ziali è più critica, che deduttiva : in quanto servono le più volte a giustificar le 

 ipotesi dei vari teoremi; a rimuovere il dubbio, che queste siano impossibili a 

 verificarsi, e però le conseguenze loro di ninno interesse speculativo o pratico. 

 Xon sarà superfluo avvertire, una volta per sempre, che il giudizio " da 

 P{a, b,c, . . .) si deduce Q (a, b, e, . . .] „ — dove P e Q siano proposiz.' negli enti 

 rappresentati dalle lettere a,b,c, . . . mutabili ad arbitrio, cioè non aventi signi- 

 ficato indipendente da quello che è loro assegnato in P — è da ritenersi il 

 medesimo che: " qualunque siano a.b, e, . . . , se per essi è vera P {a,b,c, . . .) 

 sarà altresì vera Q {a, b, e, . . .); chi di questi enti asserisce P, non può negar Q 

 pei medesimi „. Alle volte si deduce soltanto rispetto ad alcuni degli enti a,b, e,..., 

 senza verun riguardo agli altri : ma ciò si dirà espressamente, ove non sia chiaro 

 per se. — È da por mente anche al retto uso dei termini "èugualea,," equi- 

 vale ad , , ecc., interposti fra due propos.', p. e. Pe Q: per mezzo dei quali s'in- 

 tende esprimere il fatto che " da P si deduce ^ e da ^ si deduce P , , ossia 

 che ciascuna delle due propos.' è conseguenza dell'altra ; sia che questo abbia 

 effetto dalla sola definizione di Po di ^ (eguaglianza nominale, " = „); o sia pure 

 a motivo di principi già consentiti (eguaglianza reale, apodittica, " ^ „) come 

 le più volte accade (*). 



POSTULATO IX». 



P14. Posto che n e b siano punti projettivi, b non coincidente con a; se avvien 

 che un punto e appartenga alla congiungente a con b senza coincider 

 con a, bisognerà che il punto b appartenga alla congiungente a con e. 



(*) Sì l'eguaglianza fra proposizioni, come quella fra classi di punti o figure (P3), frui- 

 scono delle proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica (Cfr. P5): ond'è che all' idea di figura o di 

 proposizione si potrebbe congiunger secondo regole note un nuovo ente astratto, il contenuto di 

 una figura e la capacità deduttiva o peso d'una proposizione : riguardando ad es. 1' equivalenza di 

 due propos.' come un'eguaglianza nelle loro capacità deduttive. 



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