r PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE. ECC. 7 



ed altre consimili, per cui siam soliti esprimere quella relazione in Geometria. 

 Grazie a PI, la propos.» condizionale '■ x è un punto prj. „, o " a;€[0] , ha 

 sempre un significato: ma potrebb'essere assurda; giacche non è detto che il 

 " punto prj „ sia una classe " non nulla „. Si sa che i Logici danno ragione 

 eziandio delle classi viiofe o illusorie, cui non spetta alcun individuo, e che son 

 quasi come lo' zero fra i numeri. Onde la convenienza d'accettare il seguente: 



POSTULATO 11°. 



P2. Esiste almeno un punto projettivo. 



Cioè " fO] non è classe illusoria „. 



V3-Df. " Si chiama figura o forma ogni classe di punti prj. — Dire che una figura cp è 

 " contenuta, o giace, in un'altra ip (CPQM^) vai quanto aftei^mare che" ogni punto 

 " di <p spetta anche a ij). Se inoltre ogni punto dì ^ e anche punto di qp, le due 

 " figure si dicono eguali fra loro, o coincidenti (qp^H^)- •, 



Il " punto prj „ è pertanto una figura; anzi la " massima figura „: però che ogni 

 altra è contenuta in questa. Insomma " [0] „ è il medesimo che " classe dei 

 punti prj „ ; come il termine " punto prj „ è anche sinonimo di spazio o ambiente 

 projettivo. 



P4:-Df. " Se rt è un punto prj, dicesi " eguale ac? « „ , o " coincidente con « „ , o " m „ 

 " ciascun punto prj il quale appartenga ad ogni figura contenente a. In altri 

 " termini, le locuzioni " x è uguale ad a „, " x coincide con a „ (xeia, 

 " come pure x = a) sono invece di: " a; è un punto prj, e non esiste figura che 

 " passi per a senza passare per a; „ „ (*). 



Cosicché " X non coincide con « „ (x~ = a) vuol dire: " esiste una classe di 

 punti che comprende «, ed a; non è individuo di questa „ — L'eguaglianza così 

 definita presenta i caratteri che si richiedon per solito nell'eguaglianza fra indi- 

 vidui d'una classe qualsiasi (attributi dell'eguaglianza); essi sono principalmente 

 i seguenti : 



Fb-Tr. " 1") Se « è un punto prj, 1'" eguale ad a „ , o " \a „, è una classe di 

 " punti prj, cui appartiene anche «; vale a dire: " a coincide sempre con a „, 

 " " ffeirt „ (proprietà riflessiva) — 2") Se inoltre b = a e e = b, si deduce che 

 " e = « (proprietà transitiva) — 3") Da 6 = a nasce a = b (proprietà simmetrica). „ 

 [Invero, perchè fosse a^ = b. dovrebbe esistere una figura qp contenente b fra 

 i suoi punti, e non passante per a (P4) : sicché la figura dei punti esclusi da cp 

 — cioè la classe [0]~cp, complemento di qp rispetto a [0] — conterrebbe a, 

 ma non b ; contrariamente all'Hp b = a.] (**) 



Anzi che " i punti a e b non coincidono „ si dice spesso " a e b son distinti, 

 diversi fra loro „ (V. l'Introd.^). E dicendosi " a,b,c,... sono punti distinti „ 

 s'intende di escluder senz'altro, che due qualunque di essi coincidano. — Non 



(*) Cfr. Peano, Studi di Logica Matematica, pag. 19 (' Atti di Torino ,, voi. XSSII, 1897). 

 (**) Ved. Formiti, de Math. (op. cit.), t. II, §1, P80-85. 



