MARIO PIEKI 



Circa la irreducibilità ulteriore di tali premesse e l'indipendenza di ciascuna dalle altre 

 (condizioni che toccano quasi la perfezione ideale) nulla possiamo affermare in modo 

 assoluto; per quanto lo studio accurato e paziente che vi abbiam posto ne lasci 

 sperare di non esser troppo lontani da quelle cime (*). Ma che tutti bastino in- 

 sieme alle occorrenze della Geometria di posizione, si può risolutamente affermare ; 

 e s'inferisce da ciò, che per loro mezzo è dato pervenire senz'altri sussidi al teorema 

 fondamentale della projettività, o teorema di Staudt (§ 10): il quale, siccome fu 

 bastantemente provato dal medesimo Staudt e da altri (**), permette alla sua volta 

 di rappresentare per coordinate proiettive i punti e le rette d'ogni spazio o forma 

 fondamentale di data specie o dimensione — e però di ridurre ogni quistione pro- 

 iettiva, che possa nascere entro una forma siffatta, ad un quesito meramente alge- 

 brico. Pertanto ogni ragione o fatto pertinente al dominio della Geom.'' di posizione 

 non potrà essere in fondo che una combinazione logica delle nostre proposiz.' primitive, 

 ed un'affermazione, piìi o meno complessa, circa gli enti primitivi " punto proj.° „ e 

 " congiungente due punti proj.' „ (***). 



È generalmente riconosciuta l'utilità di un buon algoritmo ideografico, come 

 strumento atto a prevenire e disciplinare il pensiero; e ad escludere le ambiguità, 

 i sottintesi, le restrizioni mentali, le insinuazioni ed altri difetti presso che insepa- 

 rabili dal comune linguaggio sì parlato che scritto — e tanto nocivi alle indagini 

 speculative (****). Così è da tenere in gran conto l'uso metodico delle maniere e dei 

 segni propri alla Logica Algebrica: tanto che il non valersene affatto e trascurarne i 

 vantaggi (segnatamente in quest'ordine di studi) parrebbe a me quasi un disprezzar di 

 proposito il pili valido mezzo di cui si possa oggi disporre per l'analisi delle idee. Le 

 presenti ricerche furon condotte e vagliate in ogni parte alla stregua delle notazioni 



(*) Ved. ' Appendice , in fine. 



(**) Beitrage zur G. d. L., §§ 19, 20, 21, 29. - Ltìroth, " Math. Ann. „ Bd. 8. — Stuem, Ibidem, 

 Bd. 9. — FiEDLER, Darstellaide Geometrìe, IV Aufl. — De Paolis, Op. cit., ecc. 



(*■**) Si .sa che la pura Scienza del Calcolo non ha postulati del .?uo, se ne togli i pochi principi 

 aritmetici sulle idee primitive di mimerò (intero positivo), di unità e di successivo ad un numero: 

 principi che noi — seguendo il Dedekind ed altri — ascriviamo piuttosto alla Logica, poiché non 

 sembra possibile alcuna scienza deduttiva senza il loro concorso. 



(****) Non è fuor di proposito il segnalar qui alcuni passi dell'opera ' Vorlesungen uher neuere 

 Geometrie , di M. Pasch (Leipzig; Teubner, 1882, § 12): la quale, comecché intenta a stabilire la 

 Geometria su nuovi principi intuitivi e sperimentali, s'acquistò ai nostri giorni un'autorità ben me- 

 ritata nella critica dei fondamenti. " Einen Theil der Ausdrucke, mit deren Handhabung im taglichen 

 ' Leben wir durch friihzeitige Gewohnung vertraut gevorden sind, treifen wir in der Wissenschaft 

 " wieder an; und wie im taglichen Leben beim Gebrauche jener Ausdrucke zugleich allerhand 

 ' Beziehungen zwischen den entsprechenden Begriffen sich mit unseren Gedanken verflochten, ohne 

 ' dass wir uns davon besondere Rechenschaft geben, so gelingt es selbst in der strengen Wissenschaft 

 " nicht leicht, die unbewussten Beimischungen ganz fernzuhalten... Die Wissenschaft schopft einen 

 " Theil ihres Stoflfes unmittelbar aus dei- Sprache des taglichen Lebens. Aus dieser Quelle sind 

 ' Ausdrucksweisen und Anschauungen, mit denen man wissenschaftliche Sàtze nicht formuliren solite, 

 " auch in der Mathematik hineingelangt und dort die Veranlassung geworden, dass gewisse Partieen 

 " unklar erscheinen, und dass sich zahlreiohe Discussionen, namentlich uber geometrische Dinge, 

 ' erhoben haben. Welche RoUe die einzelnen Begriffe und Relationen in dem Systeme spielen, 

 ' wieweit sie fur das Ganze nothwendig oder eutbehrlich sind, tritt nur bei absolut strenger Dar- 

 " stellung an der Tag. Brst wenn auf solchem Wege die wesentlichen Bestandtheile vollstandig 

 ' gesammelt, die iiberfliissigen aber ausgeschieden sind, wird man fiirjene Discussionen, soweit sie 

 " nicht dadurch gegenstandslos werden, die richtige Grundlage besitzen ^. 



