1 PRINCIPII DELLA GEOMETRIA DI POSIZIONE, ECC. o 



Ogni altro concetto, quantunque elevato e complesso, di Geometria projettiva m 

 queste due sole nozioni elementari non è stata finora, eh' io sappia, rigorosamente 

 provata e nemmeno chiaramente affermata. Così p. es. in v. Staudt si trova fin dal 

 principio adoperato in guisa d'ente primitivo Vangoloide semplice, porzione d'una stella 

 di semiraggi (*); in De Paolis la distanza di due punti (che, al pari del semiraggio, 

 non è un concetto proiettivo) (**): e negli studi più recenti dei Sig.' Veronese (***), 

 Fano (****) ed Enriques (*****) è l'idea di moto proiettivo che, sotto le varie modificazioni 

 di retta ordinata, di ordinamento naturale e di sensi o versi d'una retta, ecc., fa da 

 ente primitivo col punto e la retta, senz'esser decomposta, ne definita altrimenti che 

 per postulati (******). — Qui al contrario si definisce il segmento proiettivo mediante il 

 punto e la retta ; e per mezzo del segmento anche la relazione del separarsi fra punti, 

 gli ordini naturali e i versi d'una retta, ecc.: onde apparisce superflua e non rispon- 

 dente ad alcuna diversità reale ed intrinseca la distinzione fra proprietà di configu- 

 razione (o circa il mutuo appartenersi di punti, rette e piani) e proprietà di connessione 

 (o circa il separarsi degli elementi fra loro;; poi che le une e le altre ugualmente 

 si riducono a predicati nelle categorie projettive anzidette. 



Nella scelta dei postulati si cercò di osservare i canoni del metodo strettamente 

 deduttivo ; procurando ad es. che niuno si potesse facilmente scomporre in piìi affer- 

 mazioni distinte e di minor peso (che, per molte ragioni, non è da imitare l'esempio 

 tutto moderno dei postulati composti) — né avesse maggiore efficacia di quella richiesta 

 da' suoi uffici deduttivi. Il loro numero è diciannove per la Geometria proj.'' ordinaria, 

 diciassette per la Geom.'' proj.* nello sp%zio generale o ambiente proj." assoluto (*******). 



(*) Geometrie der Lage, n. 10. 



(**) Sui fondamenti della Geometria projettiva. ' Memorie della R. Acc. dei Lincei ,, t. IX (1881). 



(***) Fondamenti di Geometria a più dimensioni ecc. Padova, Tipogr. del Seminario, 1891. 



(****) Sui postulati fondamentali della Geometria 2>rojettiva. " Giorn. di Matemat." ,, voi. SXX (1891). 



(»****) Sui fondamenti della Geometria projettiva. " Bend. del R. Istit. Lomb. ,, voi. XXVIL (1894). 



(***«**') Definizione, in senso alquanto più stretto dell'ordinario, vorrebbesi chiamar propriamente 

 la definizione del nome, consistente in una semplice imposizione di nomi a cose già note, o che si pre- 

 sumono acquisite alla trattazion deduttiva — esprimibili insomma dagli enti primitivi di questa 

 per mezzo delle categorie logiche, non esclusi i processi d'astrazione e à'induzione completa (Ved. p. es. 

 BuEALi-FoRTi, Logica matematica, cap. IV. Milano, Hoepli, 1894). Definizione di co.':a, o d'un ente in 

 se stesso, è invece un sistema di predicati sufficienti per qualificare un soggetto ai fini deduttivi 

 cercati: ma qui si preferisce dire in tal caso ohe l'ente non è definito. — Per altro si studierà il 

 discorso in maniera da causare ogni equivoco. Tutte le definizioni di questo Saggio son puramente 

 nominali. 



(*******) Non dispiaccia osservare che il numero dei postul'. può crescere, ancor che resti tal 

 quale, seppur non scema, la somma di condizioni arbitrarie che per quelli s'impone; cioè l'efficacia 

 deduttiva, o peso, di tutto il sistema. E così una diminuzione può nascere dal sostituire a certe 

 premesse un principio equivalente al loro prodotto logico. Ma se l'aumento è da studio di scom- 

 porre i giudizi in parti elementari e distinte non si potrà biasimare; tanto più se si pensa 

 esser questo il mezzo più acconcio a rimuovere gradatamente le affermazioni superflue. — Nemmeno 

 da ritenersi impossibile una Geometria senz' alcun postulato apparente: e per chiarirsene basta 

 riflettere alla possibilità d'introdurre, al posto di ciascun postul." o gruppo di postul.', un nome 

 speciale, atto a contrassegnar tutti gli enti che soddisfano a quello; il che può farsi con sole de/?- 

 nizioyii formali. Nomi diversi (o dift'erenti qualifiche) starebbero per es. a distinguere i nostri enti 

 fondamentali " punto , e " congiungente , , secondo che questi si volesser conformi ai postu- 

 lati r-XlX°, soltanto ai primi diciotto, ovvero ai primi diciassette, ecc.: e però le definizioni di 

 que' nomi verrebbero a far le veci dei postul.', quando tutte le propos.' fossero enunciate sovr'essi, 

 e non sugli enti generici ' punto „ e ' retta ,. 



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