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matematiche o fisiche, e però anche dagli assiomi od ipotesi della Geometria elemen- 

 tare e da ogni sussidio di misure con unità mobili nello spazio, ecc. Quest'altra via, 

 mostrata da G. C. von Staudt (nella Geometrie der Lage e ne' BeUriige zur G. dar L.) 

 indi proseguita, nei loro studi ulteriori, da A. Cayley, F. Klein, R. De Paolis ed 

 altri (e in qualche modo da tutti gli scritti celebri sulla Geometria non-euclidea, e 

 sugli spazi comunque estesi) conduce ormai pianamente ad una Geometria di posi- 

 zione in tutto speculativa ed astratta, i cui soggetti sono mere creazioni del nostro 

 spirito, e semplici atti della nostra volontà i postulati (senza escluder ch'essi abbiano 

 spesso la lor prima radice in qualche fatto esteriore): onde arbitrari gli uni e gli 

 altri; almeno in quanto non gli coordiniamo ad un fine prestabilito, che debba esser 

 guida al pensiero. Così p. es. si stimerà conveniente il proposito che la Geometria 

 di posizione riesca governata in ogni sua parte da certe leggi fondamentali — come 

 i principi di projezione e di dualità — le quali, per così dire, la informano e le im- 

 primono il carattere : e che per via d'interpetrazioni opportune (dico alla luce d'alcune 

 definizioni del nome) si possa intraveder facilmente ne' suoi risultati il complesso dei 

 fatti componenti l'ordinaria Geometria elementare e le geometrie metriche sorelle. 



Qui non è luogo a discuter sui pregi dell'uno o dell'altro di questi processi 

 ideali: a parer mio son tutti due conseguenti e legittimi, e per vie diverse con- 

 corrono all'opera di consolidar nuove basi all'edifizio geometrico. Nondimeno al secondo 

 indirizzo, speculativo od astratto, è da ascrivere il presente lavoro. Il quale si propor- 

 rebbe — con analisi pili del solito minuta ed intrinseca, e per via di studi con- 

 formi alle cresciute esigenze speculative circa il rigore ed ai perfezionamenti recati 

 nel metodo deduttivo dalla Logica algebrica — di stabilir saldamente i cardini della 

 Geometria proiettiva (vale a dire insomma di quasi tutta la moderna geometria) 

 considerata quale scienza ipotetica; e però sì nel metodo, e sì ancora nelle premesse, 

 affatto indipendente A?A\' intuizione. 



Parte del materiale, che or qui si raccoglie, fu già successivamente elaborato 

 in più memorie comparse negli anni 1895-97 con questi titoli: Sui principi che reg- 

 gono la Geometria di posizione (" Atti della R. Acc. d. Se. di Torino ,, voi.' XXX e 

 XXXI) — Uti sistema di postulati per la Geometria projettiva astratta degl'iperspazi 

 ' ( " Rivista di Matem.'' „ , t. VI) — Sugli enti primitivi della Geometria projettiva astratta 

 (" Atti di Torino „, voi. XXXII): esse verranno citate, per brevità, coi segnimi, 

 ■/Hj, Wg. Ma il contenuto di queste non ricompare solamente ordinato in un tutto 

 pili coerente ed organico: esso è piuttosto rifuso, in parecchi luoghi accresciuto, 

 in altri mutato di sana pianta. Nuovi, o al tutto riformati, i trattateli! dei gruppi 

 armonici, del segmento proiettivo, dei sensi o versi d'una retta, deli' iperpiano pro- 

 jettivo; soppresse alcune proposizioni primitive (secondo che era stato proposto ed 

 abbozzato in m-^) altre semplificate, o ridotte in affermazioni di minor capacità dedut- 

 tiva; ecc. (*). 



I concetti primitivi o indecomposti, intorno a cui versano tutti i postulati (e 

 sono come la materia prima d'ogni proposizione) vengono qui ridotti a due soli: 

 il punto proiettivo e la congiungente due punti proiettivi. La possibilità di scomporre 



(*) Le premesse fondamentali così modificate posson leggersi a pag.* 6, 7. 8. 9. 10, 12, 16. 22. 23, 

 26, 27, 28, 45, 54. 



