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22. — In tutto quanto precede si è escluso esplicitamente che i due rami R, 9J 

 abbiano tangenti distinte. In questo caso, si è già visto (n° 2) che esiste un solo 

 piano principale: il piano delle due tangenti. Diremo però ancora che questo piano 

 è la riunione di N piani principali corrispondenti agli N valori di 0. Quando il centro 



di proiezione è fuori di questo piano Qq = j^. 



È poi facile proseguire analiticamente l'analisi per questo caso particolare. 

 Limitandoci a quanto riguarda le corde improprie speciali si avrà : 

 Siano V e V gli ordini dei due rami, e e e le multiplicità d'intersezione dei due 

 rami col piano delle tangenti. Sono da distinguersi due casi: 



1" — =)= -^ e si può supporre — < -^ . 



Esiste una corda impropria speciale coincidente colla tangente a JR. 



2° 



Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di corde improprie speciali è 

 che i piani osculatori ai due rami si intersechino se il piano delle tangenti non 

 è uno di essi — che 1' Sj di massimo contatto di R contenga il piano osculatore 

 di R se il piano delle tangenti è osculatore a R (analogamente scambiando R e SR) 

 — che i due rami abbiano lo stesso Ss di massimo contatto se il piano delle tan- 

 genti è osculatore ad entrambi. 



Allora, detto b il numeratore di ^ ridotto alla sua minima espressione esistono 



sempre b corde improprie speciali distinte; esse costituiscono un gruppo proiettivo al 

 gruppo delle radici b-esime dell'unità. Si può rilevare che condizione necessaria e 

 sufficiente per l'esistenza di queste b corde improprie speciali è l'esistenza di una 

 di esse. 



Nello spazio ordinario le corde improprie speciali esistono sempre. 



In ogni caso, quando il centro di proiezione è su un piano principale, Q© = e j^. 



Proseguendo i calcoli si può vedere che possono anche qui esistere sulle corde 

 improprie speciali punti speciali; e che precisamente, nel 2° caso in cui le corde im- 

 proprie speciali non sono tangenti ai rami, possono solo esistere tali punti se, per la 



corda impropria considerata, Q© = (e + v) -^ . 



Si è già notato nel § 1 che anche la tangente ad un ramo o comune ad una 

 coppia di rami deve riguardarsi come corda impropria relativa ad essi; d'altra parte 

 si è trovato che le corde improprie sono tutte le rette di fasci che passano per 

 quella tangente. Però nelle considerazioni precedenti questa retta è stata esclusa. 

 Per essa rimarrebbero a cercarsi i numeri analoghi ad Qj ed i punti speciali. 



