31 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 113 



III. Proposizioni ausiliarie. 



§ 4. — Alcune proposisioni ausiliarie relative all'S,, rigato 

 e alla sua rappresentazione sulla @. 



23. — Ritorno in questo paragrafo sulla rappresentazione deirS„ rigato sopra 

 la Mj„_j = @ dell' S,„+n =P di cui ho fatto cenno nel n" 1. Neil' enunciare alcune pro- 



prietà di questa rappresentazione mi limiterò a quelle che mi sou necessarie nel 

 seguito del lavoro ('). 



I. Un S,_, di I, cotne luogo dirette, sarà rappresentato da una Mj(„_,_i)'rfi ®: 

 l'analoga @ corrispondente al valore n — i attribuito ad n; questa M2,„_._,, è quindi 

 contenuta in un jS.,, ,+1-, . Si verifica immediatamente questo fatto assumendo, p. e., 



le)"' 

 rS„+. come fondamentale pel sistema di coordinate cui si riferisce Z. Saranno per noi 

 d'interesse i casi di i = l,n — 3, « — 2. Per l'ultimo si ha. che un piano è rappresentato 

 in (B da un Sj . 



II. Ad ogni punto di Z si appoggia una varietà lineare oo"~' di rette ; il punto, 

 come sostegno di tal varietà è quindi rappresentato in ® da un S„_i. L' imagine d' un 

 fascio si ottiene considerandolo come intersezione di questa varietà di rette con un 

 piano: risulta che un fascio è rappresentato da una retta, il che è d' altronde evi- 

 dente se si osserva che l'imagine cercata è quella del fascio stesso suU'Sj imagine 

 del piano che lo contiene. 



(') Come ho detto nel n° 1 si ottiene questa rappresentazione scegliendo come coordinate di 

 una retta quelle del Grassmann per le formazioni di seconda specie (H. Grassmann, Die Ausdehnunys- 

 lehre von 1862, Abschn. I, Kap. 3, in particolare n" 6.5 - ges. Werke, Bd. 1, Th. 2, p. 44), cioè i deter- 

 minanti estratti dalla matrice 



Xq Xi arg . . . Xn 



Vo Vi «/!•■• y« 



ove le a; e le 2/ sono le coordinate omogenee di due suoi punti. Le relazioni che legano queste 

 coordinate furono determinate dal prof. D'Ovidio (^Ricerche sui sistemi indeterminati di equazioni lineari, 

 ' Atti della R. Acc. delle Se. di Torino ,, XII, 1877 e Le funzioni metriche fondamentali negli spazi 

 ad n dimensioni e di curvatura costante, ' Mem. Acc. dei Lincei, 1877 ,); di esse, sotto forma meno sem- 

 plice, fece pure cenno il Grassmann stesso nella nota: Verwendung der Ausdehnungslehre filr die 

 allgeineine T}i. d. Polaren u. den Zusammenhang aly. Gebilde, ' Crelle's Journal „ (1877-78). Coi me- 

 todi dell'Ausdehnungslehre dette relazioni sono state ritrovate dal sig. Engel nelle Anmerkungen 

 zur Ausdehnungslehre von 1862 (H. Grassmann's ges. Werke, Bd. 1, Th. 2, p. 402). Da una nota ap- 

 plicazione del principio della conservazione del numero del Schubebt {Die n-dimensionalen Verallye- 

 meinerungen der Fundamentalen Anzahlen unseres Raumes, " Math. Ann. ,, 26), si ha che l'ordine 



della ® è „ _i ( „_ 1 )■ Ricorrendo all'uso delle medesime coordinate il prof. Castelncovo ha stu- 

 diato r S4 rigato {Ricerche di geometria della retta nello spazio a 4 dimensioni, ' Atti del R. Istituto 

 Veneto ,, (7), 2). La ® nel caso di « = 3 (com'è noto è allora una quadrica) fu studiata dal 

 prof. Segre: Studio delle quadriche in uno spazio lineare a un numero qualunque di dimensioni, Mem. 

 Acc. Se. Torino ,, (2), 36, e Sulla geometria della retta e delle sue serie quadratiche, id. 



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