33 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 115 



tangenti a x in "> e oo^'''~'"S, .+i.„_8 — 8,^3 tangenti a x in a. Per cercare gli altri 



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S/,A — S„_, e S„+i „_2 — S„_;, tangenti a x in a consideriamo una generatrice qualunque 

 (sJ~' — 2 — 



di T non giacente in @; per essa, come si è visto, passa un ©. Se un S/„-,_| — S„_i non 



contiene S lo sega secondo un Sj di Q, che non passa quindi per la tangente a x con- 

 siderata. Quindi saranno tangenti a x secondo questa retta quei soli 00"-* S.„,_j — S„_i 



che passano per ©. Parimenti un S„+i.„_2 — S„_3 tangente secondo detta retta deve 



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segare © secondo un complesso lineare speciale ; esistono quindi allora solo oo'" ■• di 

 tali spazi. Ha per noi particolare importanza il caso che y sia un Sj ; allora sono tan- 

 genti (') a X (indicando con x anche la varietà di rette di Z di cui la x precedente è 

 l'imagine) in a tutti gli S„_i per a o tutti gli S„_s appoggiati ad a quando rispettiva- 

 mente queirSj è l'imagine d'una stella d'un piano; e non possono essere simultanea- 

 mente tangenti a x in a tutti gli S„_, per a e tutti gli 8^3 appoggiati ad a. 



Il cono T non sia interamente contenuto in ©; è chiaro che si potranno deter- 

 minare complessi di rette di dimensione 2(m — 2) (0, come si può dire brevemente, 

 rc^t»-v — complessi), costituiti da tutte le rette appoggiate a due S„_8 che incontrano a 

 e non vi sono tangenti a X- A provarlo basta osservare che ciò è vero ancora quando 

 ai complessi si imponga l'ulteriore condizione che i due S„_2 appartengano ad un 

 S„_i,cioè s'incontrino secondo un S„_3. Il complesso è allora l'insieme delle rette 

 deirS„_i e di quelle appoggiate airS„_3: basterà quindi scegliere come S„_i uno per 

 a non tangente in a a x, il che si può fare per quanto precede, e come S„_3 uno 

 qualunque neirS„_i, non appoggiato ad a. 



La proprietà si conserva se t è contenuto in ®; poiché t rappresenta allora una 

 semplice infinita di fasci di I cui appartiene a e due S„_2 generici appoggiati ad a non 

 sono segati da tutte le rette di uno di questi fasci. 



§ 5. — Ulta trasformazione algebrica dello spazio di rette. 



26. — Si consideri in Z una M„_i = di ordine m. Si trasformi Z per mezzo di 

 una trasformazione T, che per semplicità supporremo birazionale (tanto piìi che solo 

 di tali trasformazioni faremo uso in seguito), la quale muti Z in Z', O in 0' d'or- 

 dine m'. Ogni retta di Z sega (t> in m punti distinti o coincidenti, eccezion fatta per 

 le eventuali rette interamente contenute in «t, dalle quali noi facciamo astrazione. 

 Gli m punti corrispondenti in 0' non sono, in generale, allineati a tre a tre. Se quindi 

 si dice corrispondente a quella retta ogni retta determinata da una coppia di questi 



punti, a ogni retta di Z corrispondono '-"-^-^ — rette di Z'. Analogamente si vede che 

 a ogni retta di Z' corrispondono "^ rette di Z. Risulta cosi stabilita fra gli 



ó 



,. . , _ Ini (ni — 1) m{m- — 1) ^ 

 spazi rigati una corrispondenza T r , 



(') Dico, per brevità una varietà di 2 tangente ad una varietà di rette in una retta determi- 

 nata quando lo spazio lineare che contiene l'imagine della prima in ® e che si suppone non con- 

 tenga altri punti di ® è tangente all'imagine della seconda ne) punto imagine di detta retta. 



