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In essa sono fondamentali (cioè eccezionali, in quanto ad un elemento corri- 

 spondono oc elementi) in ciascuno spazio tutte le rette che passano pei punti di (t> o 

 di <t>', rispettivamente, fondamentali per T e quelle che appartengono a <t> o a <!>' ri- 

 spettivamente. 



Io non mi occuperò di tali rette; mi volgerò invece all'analisi delle rette asso- 

 ciate di se stesse. In ciascuno spazio, per fissare le idee in Z', sono le rette che 

 incontrano O' in punti di cui più di due hanno per corrispondenti in 4> punti ancora 



allineati: delle ""^^ — - rette di Z' che corrispondono a quella di questi ultimi punti, 



3 più coincidono nella prima considerata. 



Ciascuna di queste rette può considerarsi come la sovrapposizione di rette as- 

 sociate di se stesse in tre modi differenti; cioè: 1" come congiungenti più di due 

 punti tutti distinti. — 2° come congiungenti più punti infinitamente prossimi con 

 uno stesso punto a distanza finita da essi. — 3° come congiungenti fra loro più di 

 due punti infinitamente prossimi. I tre modi di rette si possono disgiungere e stu- 

 diare separatamente nel modo seguente : 



Si operi sullo spazio Z una nuova trasformazione Ti che lo muti in Z', e muti 

 la O nella <J>'i. Risulterà determinata come precedentemente una trasformazione Ti 

 di Z in Z'i considerati ciascuno come spazi di rette; inoltre risulterà determinata una 

 trasformazione T' = T~'T, di z' in Z'i e di <t)' in O'i, e quindi una trasformazione T' 

 di Z' in Z'i considerati ciascuno come spazi di rette. Siano r ed r' due rette corri- 

 spondenti e associate ciascuna di se stessa di Z e di Z'. Si scelga la Ti in modo che 

 ai punti distinti di r su corrispondano (altrettanti) punti distinti di ^l^'i fra cui non 

 ne esistano 3 allineati ed in modo che la T' soddisfi all'analoga condizione relativa- 

 mente alla r' e alla <ì>'. Allora : 



1° Alla retta r considerata come congiungente due punti distinti di 4>,AB, di 

 cui nessuno sia multiplo nell' intersezione di r e O corrisponde per T, la retta 

 •r'i = A',B'i e l'ima rispetto all'altra queste due rette non sono associate di se stesse. 

 A ogni ramo (di rigata) per r corrisponde quindi un ramo di ugual ordine per r\ e 

 gl'intorni di r e di r\ si corrispondono in una corrispondenza proiettiva non dege- 

 nere ('). Alla retta r'i^A'iB'i di Z'i corrisponde poi per T' la retta r'^A'B' e la 

 coiTispondenza fra r'i e / e fra i loro intorni è analoga a quella fra ;• e r\ . Segue da 

 ciò che le rette assordate di se stesse r,r', in quanto sono conghingenti di coppie di 

 punti corrispondenti distinti e non multipli rispettivamente nelle intersezioni di r e <t> e 

 di r' e <^', si corrispondono in modo che a ogni ramo per V una corrispondono rami 

 dello stesso ordine per l'altra e gl'intorni delle due rette sono fra loro riferiti in una cor- 

 rispondenza, insieme di corrispondenze proiettive non degeneri distinte o coincidenti. 



2° Alla retta r considerata come congiungente due punti A,B, infinitamente 

 prossimi fra loro, corrisponde per Ti la retta r', = A'iB'i; A'i e B'i sono fra loro infi- 

 nitamente prossimi e la r'i è la tangente nell' unico punto che li rappresenta alla 



(') Questo fatto è noto per le corrispondenze («', 1) (cfr. Reye, Ueber Coordinalen-Transforma- 

 tionen m««« Grades, ' Crelle's Journal „ t. 94, p. 312); è facile estenderlo alle corrispondenze alge- 

 briche qualunque. Non è qui il luogo di entrare in maggiori particolari. 



