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non tangente a p', e che seghi tutte queste t' in punti (infinitamente prossimi a P') 

 di cui dirò Q' uno generico. Q' sarà infinitamente prossimo alle intersezioni delle y' 

 cui appartiene con <t>' in prossimità di P' e sarà origine di un ramo lineare di t', 

 che si potrà sempre supporre sufficientemente esteso perchè contenga tutti i detti 

 punti d'intersezione. Indicherò ancora con t' questo ramo. 



In I' si assuma un sistema di S„_i coordinati mobili a;'i = 0, .r'j = 0, ..., x'„^0 

 che abbia l'origine in Q' e tale che gli x', = {i>l) passino tutti per la tangente 

 t' in Q' a t'- Il ramo t' sarà rappresentato da un gruppo di sviluppi delle x\ in 

 serie di x'ii 



(1) x\=a,x'l-\-b,x'l+... (i>l), 



ove «,, b, ... sono serie di potenze convergenti in prossimità di P', e si può sup- 

 porre funzioni algebriche, della variabile a da cui dipende biunivocamente la posizione 

 di Q' sul ramo q'. Esistono per a e per x'i due cerchi aventi per centri rispettiva- 

 mente a=:ao, valore cui corrisponde il punto P', e x\ = 0, ed in cui convergono tutte 

 le (1). Supporrò, per semplicità, tìo=0. 



La retta che congiunge i punti x', y' di f', di coordinate rispettivamente 

 x'i, x!^, ... x!„\ ij'i, i/'i, ... y'n, si potrà rappresentare con 



(2) '.-. - ^',_y-, . '..+.-1- ^■,^,y^ -r,.,x,-x,, 



anche queste coordinate di rette sono riferite ad un sistema di assi variabile con Q' 

 La t' sarà rappresentata da 



/._! = , r',^_i = 0. 



Tenendo conto delle (1), che si debbono conservar vere quando alle x' si sosti- 

 tuiscano le ìj', le (2) mostrano che le r' sono infinitesime colle x e le ij'. Se adunque 

 x' e ÌJ sono due punti d'intersezione di t' con <t>' in prossimità di P', tendendo r/ a r, 

 la x'y tende alla posizione limite di t'. 



Tutte le ~ rette cercate, corrispondenti a r per T coincidono quindi nella tan- 

 gente r' a p' in P'. Ad ogni ramo parziale di rigata per r, T fa corrispondere al più 

 "^ ~ ' rami parziali di rigata per r, associati in quanto r passa per P. 



28. — In Z si assuma pure un sistema di S„_i coordinati fissi ji =0, Ja = 0, 

 . . ., j„=0 (1) di origine P e tale che gli S„_i j, = (i>l) passino tutti per la r. 

 Corrispondentemente si assuma in Z' un sistema di S„_i coordinati fissi avente l'ori- 

 gine in P' e tale che ogni S„_i ^', = {j—1, 2, ..., n) sia tangente (in F) alla M„_i 



(') I simboli usati nel presente paragrafo hanno i significati definiti per essi a mano a mano, 

 assolutamente indipendenti da quelli che gli stessi simboli hanno nel resto del lavoro. 



