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^T ,.0 



■'ro.. 

 r— o+..=w 



T,(5,..=0,1-.(J 



sono infinitesimi d'ordine superiore rispettivamente di qualche differenza i, — t), e di 

 il — t)i- 

 Quindi 



(5) r'._, = a;Xr': + t)',) + b'Hi'i + j', t)', + t)'n + ... -i- r._, + e. 



dove e, è iniìnitesimo d'ordine superiore a qualche r,_,. Si vede di qui che l'ordine 

 infinitesimale minimo delle r',_i è, in generale, uguale al minore di quello minimo 

 delle r,_i e di quello minimo delle serie 



P.(j'i, t)'0 = aUl\ -t 9'i) + blil'ì + l\^\ + 91) + - • 



Ma tale ordine infinitesimale può eventualmente essere maggiore; evidentemente è 

 necessario perciò che, corrispondentemente a quei valori di i per cui rj_i ha il mi- 

 nimo ordine infinitesimale, p, (s'i, t)'i) abbia uguale ordine infinitesimale, per modo 

 che fra le due parti dell'espressione di r',_, possa avvenir riduzione, e che, corri- 

 spondentemente agli altri valori di i, ft(j'i, 9'i) sia d'ordine infinitesimale maggiore. 

 Come questo fatto avvenga si vede però più agevolmente sostituendo a i\, t)', i 

 loro valori in ji, jj, ..., j„, ^i, 1)2, . • ., 9..- Si ha allora 



(5.) r',_, = p, ih, t}.) + v.-i + 9. + i?. 



dove Oi è infinitesimo d'ordine superiore a \\ (ji, t),). Si considerino tutte le serie 

 p, (ji) ; sia a° l> il primo loro termine per cui non è a? = per ogni i. Condizione 

 necessaria e sufficiente perchè l'ordine infinitesimale minimo delle r',_i sia superiore 

 a quello delle r,-i è che: 



1» Per ogni ì per cui o" =^ 0, r,_i abbia ordine infinitesimale superiore al mi- 

 nimo: questo si può esprimere dicendo che per tali i sia 



(6„) L - 9. = 2., 



dove Z, è infinitesimo d'ordine superiore al minimo ordine infinitesimale delle diffe- 

 renze i, — X),; ovvero che, fissato x e supposto y variabile, y sia infinitamente pros- 

 simo all' S„_i 



(7o) £. - 9. = 



d'ordine superiore al minimo ordine infinitesimale delle j, — Q, 



2" Per ogni i per cui a", =*= 0, r,_i abbia il minimo ordine infinitesimale, abbia 

 cioè il minimo ordine infinitesimale ji — l),, e sia 



(6) U.-9.) + q;'M-9i^') = 2. 



