39 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 121 



dove l, ha significato analogo al precedente; ossia che la distanza di >/ dalla M„_i — 

 cilindro 



(7) fc->).) + a?aì'-t).>) = 



sia infinitesima d'ordine superiore all'ordine infinitesimale di j, — Q,. 



Evidentemente le (60) e (7o) rientrano come casi particolari rispettivamente nelle 

 (6) e (7). 



Passando a considerare le r„+,-i e le r'„_,_i, notiamo che è necessario aver riguardo 

 ad esse solo quando l'ordine infinitesimale minimo delle une delle altre sia minore, 

 rispettivamente, di quello delle r._i delle i;',_i , vale a dire , quando l'ordine infini- 

 tesimale minimo delle f, delle r', sia minore rispettivamente di quello delle r,_i 

 delle r'i_i. Distinguiamo adunque due casi: 



1» L'ordine infinitesimale minimo delle r._i , e, a fortiori, quello delle r,_i e, è 

 maggiore di quello delle j,. Si dovrà solo aver riguardo alle r„a.,_i se l'ordine infini- 

 tesimale minimo delle v'._i è maggiore di quello delle r'„a.>_i , ossia di quello delle ij,. 

 Allora l'ordine delle r'„+,_; è maggiore od uguale di quello delle r„+,_i a seconda che 

 X è non infinitamente prossimo d'ordine superiore a quello minimo delle j, alla curva 



(8) ì. + okf = (j = 2, ,«) 



(cioè il ramo descritto da x ha contatto d'ordine superiore al minimo ordine infini- 

 tesimale delle Ji col ramo di questa curva passante per P): non potrà mai essere 

 minore senza che tale sia pure quello di r',_i. 



2» L'ordine infinitesimale minimo delle r'i_i e, a fortiori, quello delle x'i_i j', è 

 maggiore di quello delle i\. Ancora si dovrà aver riguardo alle r'„+j_i solo quando 

 l'ordine infinitesimale minimo delle r._, è maggiore di quello delle x'„^^i; ma allora 

 si ricade nel caso precedente. 



La nuova condizione mostra che alla (6) si può sostituire la 



9. + 01,9,6= z:. 



Dalla discussione precedente si raccoglie che gli ordini infinitesimali minimi 

 delle Xk e delle x'^ sono sempre uguali se la retta r non è tangente alla <t>. Nel caso 

 contrario esistono, in generale, coppie di rami di rigate corrispondenti per cui le r^ e 

 le x'k hanno ordini infinitesimali differenti. Precisamente il ramo parziale di rigata T 

 sega (t> secondo rami parziali di cui uno almeno, in generale, tangente ad r. Si sup- 

 ponga per generalità che il ramo cui appartiene x intersechi n volte r in P, quello 

 cui appartiene g ni volte e sia, per fissare le idee, ri>i1i; gli ordini infinitesimali 

 minimi delle j.,t), rispetto a gi,t)i sono n, Hi rispettivamente e l'ordine infinitesimale 

 minimo delle r« rispetto alle ji e 9i è rispettivamente n e tii ovvero <n e <rii (a se- 

 conda che r non è incontrata lo è in P dalla generatrice successiva di P). Si vede 

 quindi dalle cose precedenti che l'ordine infinitesimale minimo delle :« e delle r'^ è 

 sempre uguale se £>r| + 1. 



In seguito a ciò si può affermare che la corrispondenza che la T determina fra 

 gl'intorni di r e di r , considerate come corrispondenti solo in quanto passano rispet- 

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